Um móvel no instante
, começa a se deslocar durante 30 segundos. A equação que representa o deslocamento do móvel em função do tempo é dada por
. Determine:
a)
deslocamento durante
intervalo de tempo
s e
s.
b) A velocidade média durante o mesmo intervalo.
c) A velocidade instantânea no tempo
segundo, considerando
e
.
d) Deduza uma expressão geral para a velocidade instantânea em função do tempo e à partir dela calcule a velocidade para
e
.
a)
b) A velocidade média durante o mesmo intervalo.
c) A velocidade instantânea no tempo
d) Deduza uma expressão geral para a velocidade instantânea em função do tempo e à partir dela calcule a velocidade para
Passo 1
O enunciado diz que um móvel parte de um deslocamento inicial de 30 m e seu movimento durante 30 s é descrito por S(t)=30 m+6,0 m/s²·t². O conteúdo aqui envolve movimento uniformemente acelerado, cálculo de ΔS, velocidade média, definição de velocidade instantânea via diferença quociente e derivada da função de posição.
Passo 2
Para determinar o deslocamento entre t₁=1,0 s e t₂=2,0 s, calculamos S(1,0) e S(2,0):
S(1,0)=30+6·(1,0)²=30+6=36 m
S(2,0)=30+6·(2,0)²=30+24=54 m
Logo, ΔS=S(2,0)−S(1,0)=54−36=18 m.
Passo 3
A velocidade média no intervalo [1,0 s,2,0 s] é dada por vₘ=(ΔS)/(Δt) com Δt=2,0−1,0=1,0 s. Portanto:
vₘ=18 m/1,0 s=18 m/s.
Passo 4
Para achar a velocidade instantânea em t=1,0 s usamos v≈[S(1,0+Δt)−S(1,0)]/Δt.
Com Δt₁=0,01 s:
S(1,01)=30+6·(1,01)²=30+6·1,0201=36,1206 m ⇒ v≈(36,1206−36)/0,01=12,06 m/s
S(1,01)=30+6·(1,01)²=30+6·1,0201=36,1206 m ⇒ v≈(36,1206−36)/0,01=12,06 m/s
Com Δt₂=0,001 s:
S(1,001)=30+6·(1,001)²=30+6·1,002001=36,012006 m ⇒ v≈(36,012006−36)/0,001=12,006 m/s
S(1,001)=30+6·(1,001)²=30+6·1,002001=36,012006 m ⇒ v≈(36,012006−36)/0,001=12,006 m/s
Passo 5
Derivando S(t)=30+6 t² encontramos a expressão geral da velocidade instantânea:
v(t)=dS/dt=12 t
Logo,
v(1,0)=12·1,0=12 m/s e v(2,0)=12·2,0=24 m/s
v(1,0)=12·1,0=12 m/s e v(2,0)=12·2,0=24 m/s
Resposta
a) ΔS=18 m
b) vₘ=18 m/s
c) v_inst≈12,06 m/s (Δt=0,01 s) e ≈12,006 m/s (Δt=0,001 s)
d) v(t)=12 t ⇒ v(1,0)=12 m/s e v(2,0)=24 m/s
b) vₘ=18 m/s
c) v_inst≈12,06 m/s (Δt=0,01 s) e ≈12,006 m/s (Δt=0,001 s)
d) v(t)=12 t ⇒ v(1,0)=12 m/s e v(2,0)=24 m/s