Um corpo de massa m se encontra num plano sob a ação de uma força que depende da posição da forma F(x, y)=k(y^3 i+y x^2 j), sendo k=1 / 3 N / m^3 e as coordenadas medidas em metro. Calcule o trabalho em Joule para levar a partícula desde a origem O até o ponto de coordenadas (2,1) através do caminho traçado pela função y=c x^3, com c=1 / 8 m^-2.
Escolha uma opção:
a. 3 / 8
b. 17 / 30
c. 8 / 15
d. 3 / 5
e. Nenhuma das alternativas.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado por uma força de posição F(x,y)=kl(y^3i+yx^2jr) ao levar uma partícula de O=(0,0) até (2,1) pelo caminho y=cx^3. O conteúdo é cálculo de integral de linha
W = integralC Fcdot dr,
que se faz parametrizando o trajeto e avaliando F(x(t),y(t))cdot (x'(t),y'(t)).

Passo 2

Parametrizamos o caminho por
x(t)=t, y(t)=c,t^3, tin[0,2],
pois em t=2 temos y(2)=ccdot8=1. Então
dx = dt, dy = 3c,t^2,dt

Passo 3

Em função de t, a força é
F(t)=kl((c,t^3)^3i + (c,t^3),t^2jr) = kl(c^3t^9,i+c,t^5,jr)
O produto escalar é
Fcdot dr = kl(c^3t^9cdot1 + c,t^5cdot3c,t^2r)dt = kl(c^3t^9 + 3c^2t^7r)dt

Passo 4

Como k=tfrac13, temos
W=integral0^2l(tfrac13c^3t^9 + c^2t^7r)dt = c^33integral0^2t^9dt + c^2integral0^2t^7dt
Calculando as integrais:
integral0^2t^9dt=2^1010, integral0^2t^7dt=2^88,
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W = c^33cdot2^1010 + c^2cdot2^88 = 102430c^3 + 32,c^2

Passo 5

Substituindo c=tfrac18
32c^2 = 32cdot164=12, 102430c^3 = 102430cdot1512=115,
então
W = 12 + 115 = 15+230 = 1730

Resposta

tfrac1730 (alternativa b)

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