Pesquisas de Astrofísica podem ser feitas com o auxílio do efeito Doppler. Quando uma estrela se aproxima da Terra em uma direção radial, os comprimentos de onda do espectro se deslocam para o violeta, e quando uma estrela se afasta da Terra os comprimentos de onda do espectro se deslocam para o vermelho. As observações astronômicas indicam que a maior parte das estrelas longínquas se afastam da Terra, comprovando a hipótese da expansão do Universo. Este fenômeno é conhecido na literatura como deslocamento para o vermelho. Conforme vimos na Seção 5.6, existe um deslocamento para o vermelho gravitacional e um deslocamento para o vermelho devido ao efeito Doppler. Considerando somente o efeito Doppler: obtenha uma expressão aproximada para a determinação do módulo da velocidade u com que uma galáxia se afasta radialmente da Terra em função de um deslocamento De<a lambda do comprimento de onda lambda de referência.

Passo 1

O enunciado trata do efeito Doppler relativístico para luz, mas pede uma expressão aproximada para velocidades não relativísticas ( ull c). Queremos relacionar o desvio de comprimento de onda
De<a lambda = lambdarm obs-lambda
com a velocidade radial de recessão u.

Passo 2

A fórmula exata do efeito Doppler para luz (fonte se afastando) é
lambdarm obs ;=;lambda;raiz1+beta1-beta com beta=uc
Para ull c temos betall1, então podemos usar a expansão em série de Taylor até a primeira ordem:
raiz1+beta1-beta approx 1 + beta

Passo 3

Substituindo a aproximação na fórmula do comprimento de onda observado:
lambdarm obs approx lambda,(1+beta) = lambdal(1+tfracucr)
Logo o desvio de comprimento de onda fica
De<a lambda = lambdarm obs-lambda approx lambda,uc

Resposta

u approx c,De<a lambdalambda

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