2.6 a. Qual é o livre caminho médio lambda de moléculas de oxigênio à temperatura T= 300 K e a uma pressão p=1,0 atm ? Suponha que o diâmetro das moléculas é d= 290 pm e que o gás é ideal. (Resposta: 1,1 cdot 10^-7 m ) b. Suponha que a velocidade média das moléculas de oxigênio v=450 m / s. Qual é o tempo médio t entre as colisões para qualquer molécula? Qual é a frequência das colisões? (Resposta: t=2,44 cdot 10^-10 s approx 0,24 n s ; f=4,1 cdot 10^9 s^-1 )

Passo 1

O enunciado pede o livre caminho médio lambda de moléculas de oxigênio em um gás ideal a T=300 K e p=1,0 atm, sabendo que o diâmetro molecular é d=290 pm. Em seguida, com a velocidade média v=450 m/s, pede-se o tempo médio entre colisões t e a frequência de colisões f. Vamos usar a teoria cinética dos gases e a definição de caminho médio.

Passo 2

Para um gás ideal, a densidade numérica de moléculas é
n = pkB T,
onde kB é a constante de Boltzmann. O livre caminho médio é dado por
lambda = 1raiz2,pi,d^2,n
Substituindo n na expressão de lambda, obtemos
lambda = kB Traiz2,pi,d^2,p

Passo 3

Agora vamos calcular numericamente lambda. Usamos kB = 1,38times10^-23 J/K, T=300 K, p=1,0 atm=1,013times10^5 Pa e d=290 pm=290times10^-12 m. Primeiro o numerador:
kB T = 1,38times10^-23times300 = 4,14times10^-21 J
O denominador:
raiz2,pi,d^2,p =1,4142cdot3,1416cdot(290times10^-12)^2cdot1,013times10^5 approx3,79times10^-14 J/m
Logo
lambda = 4,14times10^-213,79times10^-14 approx1,09times10^-7 m,
que arredondamos para 1,1times10^-7 m.

Passo 4

O tempo médio entre colisões é simplesmente
t = lambdav = 1,09times10^-7 m450 m/s approx2,43times10^-10 s,
ou seja cerca de 0,24 ns.

Passo 5

A frequência de colisões é o inverso desse tempo:
f = 1t = 12,43times10^-10 s approx4,1times10^9 s^-1

Resposta

(a) lambda approx1,1times10^-7 m
(b) t approx2,44times10^-10 s e f approx4,1times10^9 s^-1

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