(**) Um corpo de massa inicial
inicialmente em repouso está preso à extremidade de uma corda de tamanho
, quando esticada. A outra extremidade da corda está presa a um suporte, colocado em uma mesa que não oferece atrito. Esse corpo possui uma válvula que é capaz de expelir um gás, perpendicularmente ao fio e paralelamente à mesa, numa taxa
e com uma velocidade escalar
relativa ao corpo. O corpo
sai do repouso e começa a girar em torno do suporte do fio. Determine o momento angular da partícula num instante
qualquer, tomando
no instante em que a válvula é aberta.
sai do repouso e começa a girar em torno do suporte do fio. Determine o momento angular da partícula num instante
Passo 1
O enunciado descreve um corpo de massa inicial
preso por uma corda de comprimento
, sem atrito, que passa a expulsar gás perpendicularmente à corda (ou seja, tangencialmente) à taxa
e velocidade escalar constante
em relação ao corpo. Precisamos encontrar o momento angular
do corpo em torno do ponto de fixação da corda num tempo
. O conteúdo envolve dinâmica rotacional de sistema de massa variável e cálculo de torque gerado pelo jato de gás.
Passo 2
Cada segundo o corpo expele massa
com velocidade relativa
na direção tangencial. A reação desse jato sobre o corpo produz uma força de intensidade
também na direção tangencial. Como essa força age a uma distância
do ponto de rotação, o torque externo sobre o corpo é
Passo 3
Em dinâmica rotacional vale
e a tensão da corda não contribui para torque (é radial). Logo
Integrando de
a
, com
, obtemos
Resposta
onde
é o vetor unitário perpendicular à mesa (sentido dado pela regra da mão direita).