(**) Um corpo de massa inicial M inicialmente em repouso está preso à extremidade de uma corda de tamanho l, quando esticada. A outra extremidade da corda está presa a um suporte, colocado em uma mesa que não oferece atrito. Esse corpo possui uma válvula que é capaz de expelir um gás, perpendicularmente ao fio e paralelamente à mesa, numa taxa \lambda[k g / s] e com uma velocidade escalar V_{E} relativa ao corpo. O corpo
sai do repouso e começa a girar em torno do suporte do fio. Determine o momento angular da partícula num instante t qualquer, tomando t=0 no instante em que a válvula é aberta.

Passo 1

O enunciado descreve um corpo de massa inicial M preso por uma corda de comprimento l, sem atrito, que passa a expulsar gás perpendicularmente à corda (ou seja, tangencialmente) à taxa \lambda e velocidade escalar constante V_{E} em relação ao corpo. Precisamos encontrar o momento angular \mathbf{L}(t) do corpo em torno do ponto de fixação da corda num tempo t\ge0. O conteúdo envolve dinâmica rotacional de sistema de massa variável e cálculo de torque gerado pelo jato de gás.

Passo 2

Cada segundo o corpo expele massa \lambda com velocidade relativa V_{E} na direção tangencial. A reação desse jato sobre o corpo produz uma força de intensidade
T = \lambda\,V_{E}
também na direção tangencial. Como essa força age a uma distância l do ponto de rotação, o torque externo sobre o corpo é
\tau = l \times T = \lambda\,V_{E}\,l.

Passo 3

Em dinâmica rotacional vale
\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \boldsymbol{\tau}_{\rm ext},
e a tensão da corda não contribui para torque (é radial). Logo
\frac{dL}{dt} = \lambda\,V_{E}\,l.
Integrando de 0 a t, com L(0)=0, obtemos
L(t) \;=\;\int_{0}^{t}\lambda\,V_{E}\,l\,dt' \;=\;\lambda\,V_{E}\,l\,t.

Resposta

\boxed{\mathbf{L}(t) = \lambda\,V_{E}\,l\,t\;\hat{\mathbf{k}},}
onde \hat{\mathbf{k}} é o vetor unitário perpendicular à mesa (sentido dado pela regra da mão direita).

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