34.41 •• Combinação de lentes I. Um objeto de 1,20 \mathrm{~cm} de altura está 50,0 \mathrm{~cm} à esquerda de uma lente convergente de 40,0 \mathrm{~cm} de distância focal. Uma segunda lente convergente, possuindo distância focal de 60,0 \mathrm{~cm}, situa-se 300,0 \mathrm{~cm} à direita da primeira lente ao longo do mesmo eixo ótico. (a) Encontre a posição e a altura da imagem (chame-a I_{1} ) formada pela lente com uma distância focal de 40,0 \mathrm{~cm}. (b) I_{1} agora é o objeto para a segunda lente. Determine o local e a altura da imagem produzida pela segunda lente. Esta é a imagem final produzida pela combinação de lentes.
34.42 •Combinação de lentes II. Repita o Exercício 34.41 usando as mesmas lentes, exceto pelas seguintes alterações: (a) a segunda lente é uma lente divergente com uma distância focal de módulo 60,0 \mathrm{~cm}. (b) A primeira lente é uma lente divergente com uma distância focal de módulo 40,0 \mathrm{~cm}. (c) Ambas as lentes são divergentes com distâncias focais dos mesmos módulos que no Exercício 34.41.

Passo 1

O exercício trata de combinação de duas lentes delgadas no mesmo eixo ótico. Usaremos a equação de Gauss para lentes delgadas e a definição de ampliação linear.
Conteúdo e fórmulas:
A posição da imagem i e do objeto p relaciona-se com a distância focal f pela equação
\frac{1}{p} + \frac{1}{i} = \frac{1}{f}.
A ampliação linear é
m = - \frac{i}{p},
e a altura da imagem h_i é h_i = m\,h_o, onde h_o é a altura do objeto.
Em cada caso, a imagem da primeira lente serve de objeto para a segunda. A distância entre lentes é L = 300,0 cm.

Passo 2

(Caso 34.41, lente 1 convergente)
Para a primeira lente temos p_1=50,0 cm e f_1=40,0 cm.
Aplicando
\frac{1}{p_1} + \frac{1}{i_1} = \frac{1}{f_1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{50,0} + \frac{1}{i_1} = \frac{1}{40,0}
\frac{1}{i_1} = \frac{1}{40,0} - \frac{1}{50,0} = \frac{5 - 4}{200} = \frac{1}{200} \quad\Longrightarrow\quad i_1 = 200\text{ cm}.
A ampliação é
m_1 = -\frac{i_1}{p_1} = -\frac{200}{50,0} = -4,
logo a altura da imagem I_1 é
h_1 = m_1\,h_o = -4 \times 1,20\text{ cm} = -4,80\text{ cm}.

Passo 3

(Caso 34.41, lente 2 convergente)
A imagem I_1 fica a i_1=200 cm à direita da lente 1, logo seu objeto para a lente 2 está a
p_2 = L - i_1 = 300,0 - 200 = 100,0\text{ cm}.
Com f_2=60,0 cm,
\frac{1}{p_2} + \frac{1}{i_2} = \frac{1}{f_2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{100,0} + \frac{1}{i_2} = \frac{1}{60,0}
\frac{1}{i_2} = \frac{1}{60,0} - \frac{1}{100,0} = \frac{5 - 3}{300} = \frac{2}{300} = \frac{1}{150} \quad\Longrightarrow\quad i_2 = 150\text{ cm}.
A ampliação da segunda lente é
m_2 = -\frac{i_2}{p_2} = -\frac{150}{100,0} = -1{,}5,
e a altura final
h_2 = m_2\,h_1 = -1{,}5 \times (-4,80\text{ cm}) = 7,20\text{ cm}.

Passo 4

Resumo das respostas do Exercício 34.41
(a) Para a lente de f_1=40,0 cm:
\quad{}– i_1 = 200 cm (à direita da lente 1)
\quad{}– h_1 = -4{,}80 cm (invertida em relação ao objeto)
(b) Para a segunda lente de f_2=60,0 cm:
\quad{}– i_2 = 150 cm (à direita da lente 2)
\quad{}– h_2 = 7,20 cm (invertida duas vezes \to direita e verticalmente igual ao objeto original)

Passo 5

(Exercício 34.42, caso a: lente 1 convergente, lente 2 divergente)
Mantém-se I_1 de 34.41: i_1=200 cm e h_1=-4,80 cm.
Agora f_2 = -60,0 cm e p_2=100,0 cm, portanto
\frac{1}{100,0} + \frac{1}{i_2} = \frac{1}{-60,0} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{i_2} = -\frac{1}{60,0} - \frac{1}{100,0} = -\frac{8}{300}
i_2 = -37{,}5\text{ cm} \quad,\quad m_2 = -\frac{i_2}{p_2} = -\frac{-37,5}{100,0} = 0{,}375 \quad\Longrightarrow\quad h_2 = 0{,}375 \times (-4,80) = -1{,}80\text{ cm}.

Passo 6

(Exercício 34.42, caso b: lente 1 divergente, lente 2 convergente)
Lente 1: f_1=-40,0 cm, p_1=50,0 cm
\frac{1}{50,0} + \frac{1}{i_1} = \frac{1}{-40,0} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{i_1} = -\frac{1}{40,0} - \frac{1}{50,0} = -\frac{9}{200}
i_1 = -22{,}22\text{ cm}, \quad m_1 = -\frac{i_1}{p_1} = -\frac{-22,22}{50,0} = 0{,}4444 \quad\Longrightarrow\quad h_1 = 0{,}4444 \times 1,20 = 0{,}5333\text{ cm}.
Objeto para lente 2: p_2 = 300,0 + 22,22 = 322,22 cm, f_2=60,0 cm
\frac{1}{322,22} + \frac{1}{i_2} = \frac{1}{60,0} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{i_2} = \frac{1}{60,0} - \frac{1}{322,22} = 0{,}013565
i_2 = 73{,}71\text{ cm}, \quad m_2 = -\frac{i_2}{p_2} = -\frac{73,71}{322,22} = -0{,}2288 \quad\Longrightarrow\quad h_2 = -0{,}2288 \times 0{,}5333 = -0{,}122\text{ cm}.

Passo 7

(Exercício 34.42, caso c: ambas divergentes)
Usa-se i_1=-22,22 cm e h_1=0,5333 cm de b.
Agora f_2=-60,0 cm e p_2=322,22 cm
\frac{1}{322,22} + \frac{1}{i_2} = \frac{1}{-60,0} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{i_2} = -\frac{1}{60,0} - \frac{1}{322,22} = -0{,}019769
i_2 = -50{,}56\text{ cm}, \quad m_2 = -\frac{i_2}{p_2} = -\frac{-50,56}{322,22} = 0{,}1569 \quad\Longrightarrow\quad h_2 = 0{,}1569 \times 0{,}5333 = 0{,}0837\text{ cm}.

Resposta

34.41
(a) i_1=200 cm (à direita da lente 1), h_1=-4{,}80 cm.
(b) i_2=150 cm (à direita da lente 2), h_2=7{,}20 cm.
34.42
(a) i_1=200 cm, h_1=-4{,}80 cm; i_2=-37{,}5 cm (virtual, à esquerda da lente 2), h_2=-1{,}80 cm.
(b) i_1=-22{,}22 cm (virtual, à esquerda da lente 1), h_1=0{,}5333 cm; i_2=73{,}71 cm, h_2=-0{,}122 cm.
(c) i_1=-22{,}22 cm, h_1=0{,}5333 cm; i_2=-50{,}56 cm (virtual), h_2=0{,}0837 cm.

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