Um corpo de massa m=2,0 kg é abandonado a partir do repouso em uma região onde o ar oferece uma força de resistência proporcional à velocidade. Essa força tem a forma Fr=-m k v, onde v(t) é a velocidade do corpo (negativa durante a queda), k=0,20 s^-1 é a constante de proporcionalidade, e o eixo vertical y cresce para cima. Sabendo que o corpo cai a partir da posição y=0, determine: (a) a velocidade do corpo em função do tempo, (b) a expressão da energia mecânica total do corpo ao longo do tempo, (c) a taxa de variação da energia mecânica total com o tempo e (d) quantidade de energia mecânica dissipada após 3 segundos de queda.

Passo 1

O enunciado descreve a queda de um corpo de massa m=2,0 kg sob a ação do peso e de uma força de resistência do ar proporcional à velocidade, vec Fr=-m,k,vec v com k=0,20 s^-1. O eixo y cresce para cima e o corpo é largado do repouso em y=0. Para resolver precisamos:
– Montar e resolver a EDO para v(t).
– Integrar v(t) para achar y(t) e usar Em=tfrac12 m v^2 + m g y.
– Calcular dot Em e a energia dissipada em t=3 s.

Passo 2

Escrevemos a segunda lei em y:
mdvdt = -m g - m k v
ou seja
dvdt + k,v = -g,
com condição inicial v(0)=0. Esta é uma EDO linear de coeficientes constantes; a solução é
v(t) = -gkl(1 - e^-k tr)

Passo 3

Para achar a posição integramos v(t):
y(t) = integral0^tv(s),ds = -gk,t ;-;gk^2l(e^-k t-1r)
A energia mecânica total é
Em(t) = tfrac12,m,v^2(t) ;+; m,g,y(t)

Passo 4

A taxa de variação da energia mecânica vem do trabalho da força não-conservativa vec Fr:
dot Em = vec Frcdotvec v = -m,k,v^2(t)
Substituindo v(t):
dot Em(t) = -m,kl(gk(1 - e^-k t)r)^2 = -;m;g^2k,l(1 - e^-k tr)^2

Passo 5

A energia dissipada até t=3 s é
De<a E = Em(0) - Em(3)
Como Em(0)=0, basta calcular Em(3). Primeiro,
v(3) = -gkl(1 - e^-0,2cdot3r) approx -49,(1 - e^-0,6)approx -22,1;m/s,
y(3) = -gk,3 - gk^2(e^-0,6-1) approx -36,5;m
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K(3)=tfrac12,m,v^2(3)approx 488,6;J, U(3)=m,g,y(3)approx -714,2;J,
Em(3)=K(3)+U(3)approx -225,6;J Longrightarrow De<a Eapprox +226;J

Resposta

(a) v(t) = -dfracgkl(1 - e^-k tr)
(b) Em(t)=dfrac12,ml(v(t)r)^2+m,g,y(t) com
y(t)=-gk,t-gk^2(e^-k t-1)
(c) dot Em(t)=-m,k,[v(t)]^2 =-m,dfracg^2k,(1 - e^-k t)^2
(d) De<a E=Em(0)-Em(3)approx226 J

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