Um corpo de massa
é abandonado a partir do repouso em uma região onde o ar oferece uma força de resistência proporcional à velocidade. Essa força tem a forma
, onde
é a velocidade do corpo (negativa durante a queda),
é a constante de proporcionalidade, e o eixo vertical
cresce para cima. Sabendo que o corpo cai a partir da posição
, determine: (a) a velocidade do corpo em função do tempo, (b) a expressão da energia mecânica total do corpo ao longo do tempo, (c) a taxa de variação da energia mecânica total com o tempo e (d) quantidade de energia mecânica dissipada após 3 segundos de queda.
Passo 1
O enunciado descreve a queda de um corpo de massa
sob a ação do peso e de uma força de resistência do ar proporcional à velocidade,
com
. O eixo
cresce para cima e o corpo é largado do repouso em
. Para resolver precisamos:
– Montar e resolver a EDO para .
– Integrar para achar
e usar
.
– Calcular e a energia dissipada em
.
– Montar e resolver a EDO para
– Integrar
– Calcular
Passo 2
Escrevemos a segunda lei em
:
ou seja
com condição inicial
. Esta é uma EDO linear de coeficientes constantes; a solução é
Passo 3
Para achar a posição integramos
:
A energia mecânica total é
Passo 4
A taxa de variação da energia mecânica vem do trabalho da força não-conservativa
:
Substituindo
:
Passo 5
A energia dissipada até
é
Como
, basta calcular
. Primeiro,
Logo
Resposta
(a)
(b) com
(b)
(c)
(d)
(d)