Uma corpo de massa 1 kg é presa por uma mola e oscila em um movimento unidimensional de acordo com a equação
x(t)=sen(pi t-pi2)
em que x é medido em metro e t em segundo. Determine: A amplitude do movimento.
g) A posição do corpo no instante igual a 10 s.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. Temos um corpo de 1 kg preso numa mola que está oscilando de acordo com a equação $ x(t) = \sin\left(\pi t - \frac{\pi}{2}\right) $, onde $ x $ é a posição em metros e $ t $ é o tempo em segundos. Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas:
  1. A amplitude do movimento: que é basicamente o quanto o objeto se move para frente e para trás a partir da posição de equilíbrio.
  2. A posição do corpo no instante igual a 10 segundos: ou seja, onde o corpo está exatamente no décimo segundo de oscilação.
Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimentos harmônicos simples, especialmente como a amplitude e a posição estão relacionadas na equação da função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a amplitude do movimento. A amplitude em uma função de movimento harmônico simples como essa é o coeficiente que está multiplicando a função seno. Na nossa equação:
x(t) = sin(pi t - pi2)
Não tem nenhum número multiplicando o seno, o que significa que o coeficiente é 1. Portanto, a amplitude é 1 metro. Isso quer dizer que o corpo oscila 1 metro para a direita e 1 metro para a esquerda da posição de equilíbrio.

Passo 3

Agora, vamos calcular a posição do corpo no instante igual a 10 segundos. Para isso, substituímos $ t = 10 $ na equação:
t = 10
Simplificando:
x(10) = sin(pi times 10 - pi2) = sin(10pi - pi2)
Sabemos que $ \sin\left(\frac{19\pi}{2}\right) $ é igual a $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) $ porque o seno é uma função periódica com período $ 2\pi $. Contudo, considerando o ângulo completo, $ \frac{19\pi}{2} $ é equivalente a $ 9\pi + \frac{\pi}{2} $, e o seno de $ 9\pi + \frac{\pi}{2} $ é igual a $ -1 $. Portanto:
10pi - pi2 = 20pi2 - pi2 = 19pi2

Resposta

A amplitude do movimento é de 1 metro e a posição do corpo no instante igual a 10 segundos é de -1 metro.

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