Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que
é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por
, em que
e
são constantes do movimento. Os valores de C e
são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de
é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Represente graficamente a função que representa a solução geral da equação diferencial do movimento. Use a figura a seguir para esboçar o gráfico e explicite nele os valores numéricos intermediários T, T/4, T/2, e
no eixo horizontal e os seus respectivos valores numéricos de
colocados no eixo vertical.
3. A equação geral do MHS,
, pode ser escrita em uma forma equivalente
. Encontrar as expressões para as amplitudes B e C em termos da amplitude A e do ângulo de fase inicial
.
3. A equação geral do MHS,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação que descreve o movimento harmônico simples (MHS) de um sistema massa-mola. A equação geral do MHS é dada por:
Aqui, $ A $ é a amplitude, $ \omega $ a frequência angular, e $ \theta_{0} $ é o ângulo de fase inicial. Nosso objetivo é reescrever essa equação em uma forma diferente:
E descobrir as expressões para $ B $ e $ C $ em termos de $ A $ e $ \theta_{0} $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa expressar a função de duas maneiras diferentes. A ideia é que as duas formas devem representar o mesmo movimento, então os coeficientes das funções seno e cosseno na segunda equação devem estar relacionados com a amplitude $ A $ e o ângulo de fase $ \theta_{0} $ na primeira equação.
Passo 3
Vamos usar uma identidade trigonométrica que nos ajuda a quebrar o cosseno de uma soma em termos de senos e cossenos. A identidade é:
Isso nos permitirá separar os termos com seno e cosseno.
Passo 4
Aplicando a identidade na equação original $ x(t) = A \cos(\omega t + \theta_{0}) $, temos:
Distribuindo o $ A $:
Passo 5
Agora, comparemos essa expressão com a forma que queremos alcançar:
Observamos que:
- O coeficiente de $ \sin(\omega t) $ na segunda equação é $ B $.
- O coeficiente de $ \cos(\omega t) $ na segunda equação é $ C $.
Passo 6
Comparando com a equação que obtivemos após aplicar a identidade trigonométrica:
Então, podemos identificar:
e
Resposta
As amplitudes $ B $ e $ C $ em termos da amplitude $ A $ e do ângulo de fase inicial $ \theta_{0} $ são:
e