Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
d^2 xd t^2+64 x=0
em que x é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por x(t)=C cos (omega0 t+de, em que C, de e omega0 são constantes do movimento. Os valores de C e de são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de omega0 é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Represente graficamente a função que representa a solução geral da equação diferencial do movimento. Use a figura a seguir para esboçar o gráfico e explicite nele os valores numéricos intermediários T, T/4, T/2, e 3 T / 4 no eixo horizontal e os seus respectivos valores numéricos de x(t) colocados no eixo vertical.
3. A equação geral do MHS, x(t)=A cos (omega t+theta0), pode ser escrita em uma forma equivalente x(t)=B sin (omega0 t)+C cos (omega0 t). Encontrar as expressões para as amplitudes B e C em termos da amplitude A e do ângulo de fase inicial theta0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação que descreve o movimento harmônico simples (MHS) de um sistema massa-mola. A equação geral do MHS é dada por:
x(t) = A cos (omega t + theta0)
Aqui, $ A $ é a amplitude, $ \omega $ a frequência angular, e $ \theta_{0} $ é o ângulo de fase inicial. Nosso objetivo é reescrever essa equação em uma forma diferente:
A
E descobrir as expressões para $ B $ e $ C $ em termos de $ A $ e $ \theta_{0} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa expressar a função de duas maneiras diferentes. A ideia é que as duas formas devem representar o mesmo movimento, então os coeficientes das funções seno e cosseno na segunda equação devem estar relacionados com a amplitude $ A $ e o ângulo de fase $ \theta_{0} $ na primeira equação.

Passo 3

Vamos usar uma identidade trigonométrica que nos ajuda a quebrar o cosseno de uma soma em termos de senos e cossenos. A identidade é:
cos(omega t + theta0) = cos(omega t) cos(theta0) - sin(omega t) sin(theta0)
Isso nos permitirá separar os termos com seno e cosseno.

Passo 4

Aplicando a identidade na equação original $ x(t) = A \cos(\omega t + \theta_{0}) $, temos:
x(t) = A cos(omega t + theta0)
Distribuindo o $ A $:
x(t) = A [ cos(omega t) cos(theta0) - sin(omega t) sin(theta0) ]

Passo 5

Agora, comparemos essa expressão com a forma que queremos alcançar:
x(t) = B sin(omega0 t) + C cos(omega0 t)
Observamos que:
  • O coeficiente de $ \sin(\omega t) $ na segunda equação é $ B $.
  • O coeficiente de $ \cos(\omega t) $ na segunda equação é $ C $.

Passo 6

Comparando com a equação que obtivemos após aplicar a identidade trigonométrica:
x(t) = -A sin(theta0) sin(omega t) + A cos(theta0) cos(omega t)
Então, podemos identificar:
B = -A sin(theta0)
e
C = A cos(theta0)

Resposta

As amplitudes $ B $ e $ C $ em termos da amplitude $ A $ e do ângulo de fase inicial $ \theta_{0} $ são:
B
e
C

Exercícios relacionados