Uma corpo de massa 1 kg é presa por uma mola e oscila em um movimento unidimensional de acordo com a equação
em que
é medido em metro e
em segundo. Determine: A energia potencial do corpo no instante inicial.
l) A energia total do sistema.
l) A energia total do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos diz que temos um corpo de massa 1 kg preso a uma mola, que oscila de acordo com a equação $ x(t) = \sin\left(\pi t - \frac{\pi}{2}\right) $. Queremos descobrir duas coisas:
- A energia potencial do corpo no instante inicial (quando $ t = 0 $).
- A energia total do sistema.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento harmônico simples, energia potencial em molas e como calcular a energia total em sistemas oscilatórios. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a posição do corpo no instante inicial ($ t = 0 $). Substituindo $ t = 0 $ na equação da posição:
Isso significa que, no início, o corpo está a 1 metro da posição de equilíbrio, mas no sentido negativo.
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia potencial no instante inicial. A energia potencial armazenada em uma mola é dada pela fórmula:
Onde:
- $ U $ é a energia potencial,
- $ k $ é a constante da mola,
- $ x $ é a deslocamento da posição de equilíbrio.
Mas, para usar essa fórmula, precisamos descobrir o valor de $ k $. Sabemos que a equação do movimento é $ x(t) = \sin\left(\pi t - \frac{\pi}{2}\right) $. Essa equação tem a forma geral:
Onde:
- $ A $ é a amplitude,
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ \phi $ é a fase inicial.
Comparando as duas equações, vemos que $ \omega = \pi $ rad/s.
Sabemos que a frequência angular está relacionada com a constante da mola e a massa pela fórmula:
Substituindo os valores conhecidos ($ \omega = \pi $ e $ m = 1 $ kg):
Passo 4
Agora que temos o valor de $ k $, podemos calcular a energia potencial no instante inicial usando $ x(0) = -1 $ metro:
Passo 5
Para encontrar a energia total do sistema, lembramos que em um movimento harmônico simples, a energia total $ E $ é a soma da energia potencial máxima e da energia cinética máxima. Mas, como essas energias variam ao longo do tempo, a energia total permanece constante e é igual à energia potencial máxima ou à energia cinética máxima.
A energia total pode ser calculada também pela fórmula:
Onde $ A $ é a amplitude do movimento. Na nossa equação, a amplitude $ A = 1 $ metro.
Substituindo os valores:
Resposta
A energia potencial do corpo no instante inicial é $ \frac{\pi^2}{2} $ Joules e a energia total do sistema é também $ \frac{\pi^2}{2} $ Joules.