Uma corpo de massa 1 kg é presa por uma mola e oscila em um movimento unidimensional de acordo com a equação
x(t)=sen(pi t-pi2)
em que x é medido em metro e t em segundo. Determine: A energia potencial do corpo no instante inicial.
l) A energia total do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos diz que temos um corpo de massa 1 kg preso a uma mola, que oscila de acordo com a equação $ x(t) = \sin\left(\pi t - \frac{\pi}{2}\right) $. Queremos descobrir duas coisas:
  1. A energia potencial do corpo no instante inicial (quando $ t = 0 $).
  2. A energia total do sistema.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento harmônico simples, energia potencial em molas e como calcular a energia total em sistemas oscilatórios. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição do corpo no instante inicial ($ t = 0 $). Substituindo $ t = 0 $ na equação da posição:
t = 0
Isso significa que, no início, o corpo está a 1 metro da posição de equilíbrio, mas no sentido negativo.

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia potencial no instante inicial. A energia potencial armazenada em uma mola é dada pela fórmula:
U = 12 k x^2
Onde:
  • $ U $ é a energia potencial,
  • $ k $ é a constante da mola,
  • $ x $ é a deslocamento da posição de equilíbrio.
Mas, para usar essa fórmula, precisamos descobrir o valor de $ k $. Sabemos que a equação do movimento é $ x(t) = \sin\left(\pi t - \frac{\pi}{2}\right) $. Essa equação tem a forma geral:
U
Onde:
  • $ A $ é a amplitude,
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ \phi $ é a fase inicial.
Comparando as duas equações, vemos que $ \omega = \pi $ rad/s.
Sabemos que a frequência angular está relacionada com a constante da mola e a massa pela fórmula:
k
Substituindo os valores conhecidos ($ \omega = \pi $ e $ m = 1 $ kg):
x

Passo 4

Agora que temos o valor de $ k $, podemos calcular a energia potencial no instante inicial usando $ x(0) = -1 $ metro:
k

Passo 5

Para encontrar a energia total do sistema, lembramos que em um movimento harmônico simples, a energia total $ E $ é a soma da energia potencial máxima e da energia cinética máxima. Mas, como essas energias variam ao longo do tempo, a energia total permanece constante e é igual à energia potencial máxima ou à energia cinética máxima.
A energia total pode ser calculada também pela fórmula:
E
Onde $ A $ é a amplitude do movimento. Na nossa equação, a amplitude $ A = 1 $ metro.
Substituindo os valores:
E = 12 k A^2

Resposta

A energia potencial do corpo no instante inicial é $ \frac{\pi^2}{2} $ Joules e a energia total do sistema é também $ \frac{\pi^2}{2} $ Joules.

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