Um corpo com uma massa de 1 kg está preso a uma mola cuja constante de elasticidade é igual a 3 N / m, é colocado em movimento, no instante t=0, a partir da sua posição de equilíbrio, num meio em que a constante de amortecimento é igual a 4 N s / m. Determine a posição da massa em qualquer instante t, sabendo-se que a velocidade inicial é de 2 m / s. (Use EDO para resolver a questão!)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir a posição de uma massa que está presa a uma mola, sujeita a um amortecimento (tipo um amortecedor), em qualquer instante de tempo. A massa é de 1 kg, a mola tem uma constante de elasticidade de 3, N/m, e o amortecimento é de 4, N cdot s/m. Além disso, no começo, a massa parte da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial de 2, m/s. Para resolver isso, vamos usar Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), mais especificamente, a que descreve sistemas massa-mola-amortecedor.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação diferencial que descreve o sistema. Para um sistema massa-mola-amortecedor, a equação geral é:
m d^2xdt^2 + c dxdt + kx = 0
Aqui, m é a massa, c é o coeficiente de amortecimento, k é a constante da mola, e x(t) é a posição da massa no tempo t.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na equação. Temos m = 1, kg, c = 4, N cdot s/m e k = 3, N/m. Assim, a equação fica:
1 cdot d^2xdt^2 + 4 cdot dxdt + 3x = 0
Ou simplificando:
d^2xdt^2 + 4 dxdt + 3x = 0

Passo 4

Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é da forma:
x(t) = e^lambda t
Onde lambda são as raízes da equação característica associada. Vamos encontrar essa equação característica.

Passo 5

A equação característica para nossa EDO é obtida substituindo x(t) = e^lambda t na EDO:
lambda^2 e^lambda t + 4 lambda e^lambda t + 3 e^lambda t = 0
Dividindo todos os termos por e^lambda t (que nunca é zero), temos a equação característica:
lambda^2 + 4lambda + 3 = 0

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar lambda. A equação é:
lambda^2 + 4lambda + 3 = 0
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
lambda = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = 4 e c = 3. Substituindo:
lambda = -4 pm raiz16 - 122 = -4 pm raiz42 = -4 pm 22
Isso dá duas soluções:
lambda1 = -4 + 22 = -1 e lambda2 = -4 - 22 = -3

Passo 7

Com as raízes lambda1 = -1 e lambda2 = -3, a solução geral da EDO é:
x(t) = C1 e^-t + C2 e^-3t
Onde C1 e C2 são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 8

As condições iniciais dadas são:
  1. No instante t = 0, a posição está na posição de equilíbrio, ou seja, x(0) = 0.
  2. A velocidade inicial é 2, m/s, ou seja, dxdtg|t=0 = 2.
Vamos usar essas condições para encontrar C1 e C2.

Passo 9

Primeiro, aplicamos x(0) = 0:
0 = C1 e^0 + C2 e^0 Rightarrow 0 = C1 + C2
Então, temos:
C1 = -C2

Passo 10

Agora, vamos derivar x(t) para encontrar dxdt:
dxdt = -C1 e^-t - 3C2 e^-3t
Aplicando a condição dxdtg|t=0 = 2:
2 = -C1 e^0 - 3C2 e^0 Rightarrow 2 = -C1 - 3C2
Substituindo C1 = -C2 na equação:
2 = -(-C2) - 3C2 Rightarrow 2 = C2 - 3C2 Rightarrow 2 = -2C2
Então:
C2 = -1
E, consequentemente:
C1 = -C2 = 1

Passo 11

Agora que encontramos C1 = 1 e C2 = -1, substituímos de volta na solução geral:
x(t) = 1 cdot e^-t + (-1) cdot e^-3t = e^-t - e^-3t

Resposta

A posição da massa em qualquer instante t é dada por:
x(t) = e^-t - e^-3t

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