Um corpo com uma massa de 1 kg está preso a uma mola cuja constante de elasticidade é igual a , é colocado em movimento, no instante , a partir da sua posição de equilíbrio, num meio em que a constante de amortecimento é igual a . Determine a posição da massa em qualquer instante , sabendo-se que a velocidade inicial é de . (Use EDO para resolver a questão!)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir a posição de uma massa que está presa a uma mola, sujeita a um amortecimento (tipo um amortecedor), em qualquer instante de tempo. A massa é de 1 kg, a mola tem uma constante de elasticidade de , e o amortecimento é de . Além disso, no começo, a massa parte da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial de . Para resolver isso, vamos usar Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), mais especificamente, a que descreve sistemas massa-mola-amortecedor.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação diferencial que descreve o sistema. Para um sistema massa-mola-amortecedor, a equação geral é:
Aqui, é a massa, é o coeficiente de amortecimento, é a constante da mola, e é a posição da massa no tempo .
Passo 3
Vamos substituir os valores que temos na equação. Temos , e . Assim, a equação fica:
Ou simplificando:
Passo 4
Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é da forma:
Onde são as raízes da equação característica associada. Vamos encontrar essa equação característica.
Passo 5
A equação característica para nossa EDO é obtida substituindo na EDO:
Dividindo todos os termos por (que nunca é zero), temos a equação característica:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar . A equação é:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Isso dá duas soluções:
Passo 7
Com as raízes e , a solução geral da EDO é:
Onde e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 8
As condições iniciais dadas são:
No instante , a posição está na posição de equilíbrio, ou seja, .
A velocidade inicial é , ou seja, .
Vamos usar essas condições para encontrar C1 e C2.