En los ejercicios 1-10, calcule el volumen del cuerpo limitado por las superficies dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular o volume do corpo limitado pela superfície dada pela equação . Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais triplas e coordenadas esféricas, que facilitam bastante quando temos simetria radial, como parece ser o caso aqui. Então, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas esféricas e integrais para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar do sistema de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas . Isso porque a equação envolve , que é exatamente em coordenadas esféricas. As relações de mudança são:
Onde:
r é a distância do ponto à origem,
theta é o ângulo polar (inclinação em relação ao eixo z),
phi é o ângulo azimutal (em relação ao eixo x no plano xy).
Passo 3
Agora, vamos substituir essas expressões na equação dada:
Podemos dividir ambos os lados por r^3 (considerando r neq 0):
r^3 = 3 sin^2theta costheta cosphi sinphi
Passo 4
Agora, queremos encontrar o volume limitado por essa superfície. Vamos configurar a integral tripla em coordenadas esféricas. A fórmula para o volume em coordenadas esféricas é:
V = integralintegralintegral r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Precisamos determinar os limites de integração. Observando a equação r^3 = 3 sin^2theta costheta cosphi sinphi, podemos resolver para r:
r = raiz[3]3 sin^2theta costheta cosphi sinphi
Assumindo simetria, vamos integrar r de 0 até raiz[3]3 sin^2theta costheta cosphi sinphi, theta de 0 a pi, e phi de 0 a 2pi.
Então, a integral para o volume fica:
V = integral0^2pi integral0^pi integral0^raiz[3]3 sin^2theta costheta cosphi sinphi r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Passo 5
Vamos resolver a integral em ordem. Primeiro, integramos em relação a r:
Agora, vamos resolver a integral em relação a theta e phi. Observando a função a ser integrada, percebemos que ela é ímpar em relação a phi devido ao termo cosphi sinphi. Integrando de 0 a 2pi, tais termos vão se anular devido à simetria periódica das funções trigonométricas.
Portanto:
V = 0
Resposta
O volume do corpo limitado pela superfície (x^2+y^2+z^2)^3=3 x y z é zero.