En los ejercicios 1-10, calcule el volumen del cuerpo limitado por las superficies dadas.
(x^2+y^2+z^2)^3=3 x y z

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular o volume do corpo limitado pela superfície dada pela equação (x^2+y^2+z^2)^3=3 x y z. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais triplas e coordenadas esféricas, que facilitam bastante quando temos simetria radial, como parece ser o caso aqui. Então, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas esféricas e integrais para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar do sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas esféricas (r, theta, phi). Isso porque a equação envolve x^2 + y^2 + z^2, que é exatamente r^2 em coordenadas esféricas. As relações de mudança são:
x = r sintheta cosphi y = r sintheta sinphi z = r costheta
Onde:
  • r é a distância do ponto à origem,
  • theta é o ângulo polar (inclinação em relação ao eixo z),
  • phi é o ângulo azimutal (em relação ao eixo x no plano xy).

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões na equação dada:
(x^2+y^2+z^2)^3 = 3xyz
Substituindo:
(r^2)^3 = 3 cdot (r sintheta cosphi) cdot (r sintheta sinphi) cdot (r costheta)
Simplificando:
r^6 = 3 r^3 sin^2theta costheta cosphi sinphi
Podemos dividir ambos os lados por r^3 (considerando r neq 0):
r^3 = 3 sin^2theta costheta cosphi sinphi

Passo 4

Agora, queremos encontrar o volume limitado por essa superfície. Vamos configurar a integral tripla em coordenadas esféricas. A fórmula para o volume em coordenadas esféricas é:
V = integralintegralintegral r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Precisamos determinar os limites de integração. Observando a equação r^3 = 3 sin^2theta costheta cosphi sinphi, podemos resolver para r:
r = raiz[3]3 sin^2theta costheta cosphi sinphi
Assumindo simetria, vamos integrar r de 0 até raiz[3]3 sin^2theta costheta cosphi sinphi, theta de 0 a pi, e phi de 0 a 2pi.
Então, a integral para o volume fica:
V = integral0^2pi integral0^pi integral0^raiz[3]3 sin^2theta costheta cosphi sinphi r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi

Passo 5

Vamos resolver a integral em ordem. Primeiro, integramos em relação a r:
integral0^raiz[3]3 sin^2theta costheta cosphi sinphi r^2 , dr = [ r^33 ]0^raiz[3]3 sin^2theta costheta cosphi sinphi = 13 (3 sin^2theta costheta cosphi sinphi) = sin^2theta costheta cosphi sinphi
Então, a integral se simplifica para:
V = integral0^2pi integral0^pi sin^3theta costheta cosphi sinphi , dtheta , dphi

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral em relação a theta e phi. Observando a função a ser integrada, percebemos que ela é ímpar em relação a phi devido ao termo cosphi sinphi. Integrando de 0 a 2pi, tais termos vão se anular devido à simetria periódica das funções trigonométricas.
Portanto:
V = 0

Resposta

O volume do corpo limitado pela superfície (x^2+y^2+z^2)^3=3 x y z é zero.

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