Halle la masa total del cubo Omega=[-1,1] times[-1,1] times[-1,1], sabiendo que su densidad en el punto P=(x, y, z) es rho(x, y, z)=x+y+z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a massa total de um cubo definido pelo conjunto Omega = [-1,1] times [-1,1] times [-1,1]. A densidade nesse ponto P=(x, y, z) é dada por rho(x, y, z) = x + y + z. Para resolver isso, vamos usar integração tripla, que é uma ferramenta matemática para somar quantidades em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a massa total ( M) de um objeto com densidade variável pode ser encontrada integrando a função de densidade sobre todo o volume do objeto. A fórmula geral para isso é:
M = integral triplaOmega rho(x, y, z) , dV
Aqui, Omega é o volume do cubo e dV representa um elemento de volume infinitesimal.

Passo 3

Agora, vamos substituir a função de densidade rho(x, y, z) = x + y + z na fórmula da massa:
M = integral tripla-1^1 (x + y + z) , dx , dy , dz
Isso significa que vamos integrar a expressão x + y + z nas três direções de x, y e z, cada uma variando de -1 a 1.

Passo 4

Vamos separar a integral em três partes, já que x, y e z são funções separadas:
M = integral tripla-1^1 x , dx , dy , dz + integral tripla-1^1 y , dx , dy , dz + integral tripla-1^1 z , dx , dy , dz
Cada uma dessas integrais vai ser calculada individualmente.

Passo 5

Vamos calcular a primeira integral:
integral tripla-1^1 x , dx , dy , dz = integral-1^1 ( integral-1^1 ( integral-1^1 x , dx ) dy ) dz
Primeiro, integramos em relação a x:
integral-1^1 x , dx = [ x^22 ]-1^1 = 12 - 12 = 0
Como o resultado é zero, toda a primeira parte da integral é zero.

Passo 6

Vamos fazer o mesmo para a segunda integral:
integral tripla-1^1 y , dx , dy , dz
Integrando em relação a x:
integral-1^1 y , dx = y [ x ]-1^1 = y (1 - (-1)) = 2y
Agora, integramos em relação a y:
integral-1^1 2y , dy = 2 [ y^22 ]-1^1 = 2 ( 12 - 12 ) = 0
Novamente, o resultado é zero.

Passo 7

Agora, vamos calcular a terceira integral:
integral tripla-1^1 z , dx , dy , dz
Integrando em relação a x:
integral-1^1 z , dx = z [ x ]-1^1 = z (1 - (-1)) = 2z
Em seguida, integramos em relação a y:
integral-1^1 2z , dy = 2z [ y ]-1^1 = 2z (1 - (-1)) = 4z
Finalmente, integramos em relação a z:
integral-1^1 4z , dz = 4 [ z^22 ]-1^1 = 4 ( 12 - 12 ) = 0
Mais uma vez, o resultado é zero.

Resposta

Somando todas as partes, temos que a massa total do cubo é:
M = 0 + 0 + 0 = 0
Portanto, a massa total do cubo Omega é 0.

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