Halle la masa total del cubo
, sabiendo que su densidad en el punto
es
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a massa total de um cubo definido pelo conjunto
. A densidade nesse ponto
é dada por
. Para resolver isso, vamos usar integração tripla, que é uma ferramenta matemática para somar quantidades em três dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a massa total (
) de um objeto com densidade variável pode ser encontrada integrando a função de densidade sobre todo o volume do objeto. A fórmula geral para isso é:
Aqui,
é o volume do cubo e
representa um elemento de volume infinitesimal.
Passo 3
Agora, vamos substituir a função de densidade
na fórmula da massa:
Isso significa que vamos integrar a expressão
nas três direções de
,
e
, cada uma variando de -1 a 1.
Passo 4
Vamos separar a integral em três partes, já que
,
e
são funções separadas:
Cada uma dessas integrais vai ser calculada individualmente.
Passo 5
Vamos calcular a primeira integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Como o resultado é zero, toda a primeira parte da integral é zero.
Passo 6
Vamos fazer o mesmo para a segunda integral:
Integrando em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Novamente, o resultado é zero.
Passo 7
Agora, vamos calcular a terceira integral:
Integrando em relação a
:
Em seguida, integramos em relação a
:
Finalmente, integramos em relação a
:
Mais uma vez, o resultado é zero.
Resposta
Somando todas as partes, temos que a massa total do cubo é:
Portanto, a massa total do cubo
é 0.