Quais das forças são conservativas? No caso de serem conservativas, determine a energia potencial U(r). Considere: a, b e c constantes.
F=(a / r) er. Dica: quando uma força é conservativa, temos que nabla times F=0.

Passo 1

Beleza, o enunciado nos dá uma força central
F( r ) ;=; ar,er,
onde é constante e é a distância ao centro.
Conteúdo: força conservativa e energia potencial.
O que vamos precisar:
  1. Saber que uma força é conservativa se e só se .
  2. Relacionar força e energia potencial pela fórmula
    .

Passo 2

Mostrando que nablatimes l(F(r),err)=0 :
Como F=ar,er =ar^2,(x,i+y,j+z,k), depende só de e aponta radialmente, vale o resultado geral de forças centrais:
Se quiser ver no detalhe, note que em coordenadas cartesianas
e ao calcular cada componente do rotacional dá zero. Logo é conservativa.

Passo 3

Agora, para achar a energia potencial F=-nabla U Longrightarrow U(r)=-integral Fcdot dr , usamos
U(r) =-integral ar,er ;cdot; dr,er =-integral ar,dr =-aintegral 1r,dr =-aln r + C,
Aqui o deslocamento no sentido radial é , logo
onde é uma constante arbitrária de energia potencial.

Resposta

A força boxedU(r) = -,aln r + C é conservativa, e a energia potencial associada é

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