Um corpo de massa
cai, a partir do repouso, num meio que oferece uma resistência proporcional a
, o módulo da velocidade instantânea do corpo. Admitindo que a força gravitacional seja constante, determinar a posição e a velocidade do corpo no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um corpo com massa
que está caindo, começando do repouso, em um meio que oferece resistência proporcional à velocidade do corpo (
). A força da gravidade é constante. O que precisamos descobrir é como ficam a posição (
) e a velocidade (
) desse corpo no instante
. Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos de leis de Newton e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando no corpo. Temos duas:
- Força gravitacional:
, onde é a aceleração da gravidade. - Força de resistência do meio:
, onde é a constante de proporcionalidade e é a velocidade do corpo. O sinal negativo indica que a resistência atua na direção oposta ao movimento.
De acordo com a segunda lei de Newton, a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
Então, a equação fica:
Passo 3
Vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos encontrar um fator integrante. A equação pode ser reescrita como:
O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. A integral do lado direito é:
Então:
Passo 6
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, aplicamos a condição inicial. Sabemos que no instante
, a velocidade
:
Substituindo
na expressão de
:
Passo 7
Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos encontrar a posição
. Sabemos que
. Então:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é outra constante de integração. Calculando a integral:
Aplicando a condição inicial
:
Substituindo
:
Resposta
As expressões para a velocidade e posição do corpo no instante
são: