Um corpo de massa m cai, a partir do repouso, num meio que oferece uma resistência proporcional a |v|, o módulo da velocidade instantânea do corpo. Admitindo que a força gravitacional seja constante, determinar a posição e a velocidade do corpo no instante t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um corpo com massa que está caindo, começando do repouso, em um meio que oferece resistência proporcional à velocidade do corpo ( ). A força da gravidade é constante. O que precisamos descobrir é como ficam a posição ( ) e a velocidade ( ) desse corpo no instante . Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos de leis de Newton e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando no corpo. Temos duas:
  1. Força gravitacional: , onde é a aceleração da gravidade.
  2. Força de resistência do meio: , onde é a constante de proporcionalidade e é a velocidade do corpo. O sinal negativo indica que a resistência atua na direção oposta ao movimento.
De acordo com a segunda lei de Newton, a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
Então, a equação fica:

Passo 3

Vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por :
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos encontrar um fator integrante. A equação pode ser reescrita como:
O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. A integral do lado direito é:
Então:

Passo 6

Dividindo ambos os lados por :
Agora, aplicamos a condição inicial. Sabemos que no instante , a velocidade :
Substituindo na expressão de :

Passo 7

Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos encontrar a posição . Sabemos que . Então:
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é outra constante de integração. Calculando a integral:
Aplicando a condição inicial :
Substituindo :

Resposta

As expressões para a velocidade e posição do corpo no instante são:

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