Use a regra da cadeia para calcular dz/dt, quando: Z = e^(1 - x y), sendo x = t^(1/3) e y = t^3

Passo 1

Beleza, a gente tem um exercício de cálculo que pede para encontrar a derivada de em relação a , usando a regra da cadeia. A função dada é , onde e . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia em funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a regra da cadeia serve para derivar funções que são compostas, ou seja, uma função dentro de outra. No nosso caso, depende de e , que por sua vez dependem de . Então, para achar , vamos precisar derivar em relação a e , e depois multiplicar pelas respectivas derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos começar derivando em relação a :

Passo 4

Agora, derivamos em relação a :

Passo 5

Em seguida, precisamos derivar e em relação a :

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, juntamos tudo:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Agora, substituímos e na expressão:

Passo 8

Simplificando os termos:

Passo 9

Podemos fatorar :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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