Um corpo de massa m é colocado a uma distância
do centro de um planeta de massa Meraio R. Calcule a energia potencial para
. Suponha que a densidade de massa do planeta seja uniforme e que a massa
m possa entrar no seu interior através de um túnel. Considere
. Calcule a velocidade como função de r para
sabendo que
.
m possa entrar no seu interior através de um túnel. Considere
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um corpinho de massa
que vai de fora até dentro de um planeta de massa
e raio
, com densidade constante. Primeiro querem a energia potencial gravitacional
para qualquer distância
entre 0 e ∞, assumindo
. Depois, sabendo que ele parte parado em
, querem a velocidade
dentro do planeta.
Conteúdo: energia potencial gravitacional e conservação de energia. Vamos precisar lembrar que fora do planeta a fórmula é e dentro o campo varia porque a massa interna muda com
.
Conteúdo: energia potencial gravitacional e conservação de energia. Vamos precisar lembrar que fora do planeta a fórmula é
Passo 2
Energia potencial fora (
):
A regra geral é
A regra geral é
e para um ponto fora de um planeta esférico de massa
,
Como pediram
, temos
, então OK.
Energia potencial dentro (
):
- Primeiro achamos a massa interna ao raio
:
- A força gravitacional em
agora é
- Integramos para achar
, lembrando que a referência continua . Mas é mais simples usar continuidade em e computar
Como
(do caso fora), então
Passo 3
Agora a velocidade
para
, usando conservação de energia mecânica:
e como
,
. Então
Substituindo as fórmulas de
dentro do planeta:
Fazendo a conta
Resposta
Energia potencial:
- Para
:
- Para
:
Velocidade dentro do planeta (
), partindo de repouso em
: