Um corpo de massa m é colocado a uma distância r0 do centro de um planeta de massa Meraio R. Calcule a energia potencial para 0 <= r <= infty. Suponha que a densidade de massa do planeta seja uniforme e que a massa
m possa entrar no seu interior através de um túnel. Considere v(infty)=0. Calcule a velocidade como função de r para r sabendo que v(r0)=0.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um corpinho de massa que vai de fora até dentro de um planeta de massa e raio , com densidade constante. Primeiro querem a energia potencial gravitacional para qualquer distância entre 0 e ∞, assumindo . Depois, sabendo que ele parte parado em , querem a velocidade dentro do planeta.
Conteúdo: energia potencial gravitacional e conservação de energia. Vamos precisar lembrar que fora do planeta a fórmula é e dentro o campo varia porque a massa interna muda com .

Passo 2

Energia potencial fora ( U(r) ;=; -integralinfty^r F(r'),dr' ):
A regra geral é
F(r)=G,M,mr^2Longrightarrow U(r)=-integralinfty^rG,M,mr'^2dr' =-G,M,mr
e para um ponto fora de um planeta esférico de massa rho=3M4pi R^3, M(,
F(r)=G,M(
Como pediram U(r)-U(R)=-integralR^rF(r'),dr' =-integralR^rG,M,mR^3r',dr' =-G,M,m2R^3l(r^2-R^2r) , temos U(r)=-G,M,mR -G,M,m2R^3l(r^2-R^2r) =-G,M,m2R^3l(3R^2-r^2r) , então OK.
Energia potencial dentro ( ):
  1. Primeiro achamos a massa interna ao raio :
  1. A força gravitacional em agora é
  1. Integramos para achar , lembrando que a referência continua . Mas é mais simples usar continuidade em e computar
Como (do caso fora), então

Passo 3

Agora a velocidade Erm tot=U(r0)+K(r0)=U(r)+K(r), para 12m,v(r)^2 =U(r0)-U(r) , usando conservação de energia mecânica:
U(r0)=-G,M,m2R^3(3R^2-r0^2), U(r)=-G,M,m2R^3(3R^2-r^2)
e como 12m,v^2 =G,M,m2R^3l(r0^2-r^2r) ;Longrightarrow; v(r) =raizG,MR^3,l(r0^2-r^2r) , . Então
Substituindo as fórmulas de dentro do planeta:
Fazendo a conta

Resposta

Energia potencial:
  • Para U(r)=-G,M,mr :
U(r)=-G,M,m2R^3,l(3R^2-r^2r)
  • Para boxedv(r)=raizG,MR^3,l(r0^2-r^2r), :
Velocidade dentro do planeta ( ), partindo de repouso em :

Exercícios relacionados