Um corpo de massa m é colocado a uma distância r0 do centro de um planeta de massa Me e raio R . Calcule a velocidade como função de r .

Passo 1

Beleza, temos um corpinho de massa m largado a uma distância inicial r0 do centro de um planeta (massa Me, raio R). A ideia é achar a velocidade v dele quando estiver a uma distância genérica r do centro. Isso é um problema padrão de Conservação de Energia em Gravitação: vamos usar a energia potencial gravitacional
U(r) = -G,Me,mr
e a energia cinética
K = 12,m,v^2,

Passo 2

Aplicar o princípio da Conservação da Energia Mecânica (sem atrito):
Erm total(r0) = Erm total(r),
Como largamos o corpo do repouso em r0, na posição inicial temos
E(r0)=K(r0)+U(r0)=0 + (-G,Me,mr0)=-G,Me,mr0,
Na posição genérica r, a energia total é
E(r)=K(r)+U(r)=12,m,v^2(r);-;G,Me,mr,

Passo 3

Igualamos as duas energias:
-G,Me,mr0 ;=;12,m,v^2(r);-;G,Me,mr,
Agora é só isolar v^2(r):
1) Joga o termo potencial de r pro lado esquerdo:
-G,Me,mr0 + G,Me,mr = 12,m,v^2(r),
  1. Factor m e G,Me:
G,Me,mr - G,Me,mr0 = 12,m,v^2(r),
3) Divide por tfrac12,m:
v^2(r) = 2,G,Me;(1r - 1r0),
  1. Tira a raiz pra achar v(r):

Resposta

boxedv(r)=raiz2,G,Me;(1r-1r0),

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