Mostrar através de argumentos geométricos que uma partícula de massa m colocada no interior de uma casca esférica de densidade uniforme de massa fica sujeira a uma força nula, qualquer que seja a posição da partícula. O que aconteceria se a densidade superficial de massa não fosse constante?
Passo 1
Beleza, o enunciado tá assim: a gente tem uma casca esférica (tipo uma casca de ovo) com densidade de massa uniforme na superfície, e um pontinho de massa
lá dentro, em qualquer lugar. A pergunta é: por que a força gravitacional resultante sobre esse pontinho é zero? E mais: o que rola se a densidade na superfície não for constante?
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Lei da gravitação de Newton (
). - Conceito de ângulo sólido (
) e área projetada ( ).
O que vamos usar:
- Expressar a contribuição de um pedacinho de casca para a força;
- Mostrar que a contribuição de dois pedaços “opostos” tem a mesma magnitude e sentidos opostos;
- Concluir que somando tudo dá zero.
Passo 2
Pega um pedacinho de área da casca
e densidade superficial
. A massinha é
A força que esse pedaço faz em
(a distância até o ponto é
) é
Só que nem todo
“olha” diretamente pro pontinho: o componente da área que realmente “aponta” pra ele é
. E a definição de ângulo sólido diz
Logo, o módulo da força fica
Repara que não depende de
nem de
, apenas do pedacinho de ângulo sólido
.
Passo 3
Agora pega dois cones de vértice no ponto interno, de mesmo
, um apontando pra “parte de baixo” da casca e outro pra “parte de cima”. Cada cone intercepta um pedacinho de casca com a mesma
, produzindo duas forças de módulo idêntico
, mas exatamente em sentidos opostos.
Como isso vale pra todo cone que você inventar, cada contribuição positiva é casada com uma negativa igual, e o somatório de todas as dá zero.
Como isso vale pra todo cone que você inventar, cada contribuição positiva é casada com uma negativa igual, e o somatório de todas as
Passo 4
Se a densidade superficial
não for constante, aí o pedacinho do cone A pode ter
do cone oposto. As forças serão
e não necessariamente
. Sobram componentes e o resultado final não é zero: o pontinho sente atração prá onde a casca tiver mais massa.
Resposta
A força resultante sobre a partícula dentro da casca esférica de densidade uniforme é zero.
Se a densidade superficial não for constante, o cancelamento não ocorre e aparece uma força líquida puxando o ponto para as regiões de maior densidade.
Se a densidade superficial não for constante, o cancelamento não ocorre e aparece uma força líquida puxando o ponto para as regiões de maior densidade.