Mostrar através de argumentos geométricos que uma partícula de massa m colocada no interior de uma casca esférica de densidade uniforme de massa fica sujeira a uma força nula, qualquer que seja a posição da partícula. O que aconteceria se a densidade superficial de massa não fosse constante?

Passo 1

Beleza, o enunciado tá assim: a gente tem uma casca esférica (tipo uma casca de ovo) com densidade de massa uniforme na superfície, e um pontinho de massa lá dentro, em qualquer lugar. A pergunta é: por que a força gravitacional resultante sobre esse pontinho é zero? E mais: o que rola se a densidade na superfície não for constante?
Conteúdo envolvido:
  • Lei da gravitação de Newton ( ).
  • Conceito de ângulo sólido ( ) e área projetada ( ).
    O que vamos usar:
  1. Expressar a contribuição de um pedacinho de casca para a força;
  2. Mostrar que a contribuição de dois pedaços “opostos” tem a mesma magnitude e sentidos opostos;
  3. Concluir que somando tudo dá zero.

Passo 2

Pega um pedacinho de área da casca dm = sigma,dA e densidade superficial dF = G,m;dmr^2 = G,m,sigma,dAr^2 . A massinha é
dOmega = dAcosthetar^2 Longrightarrow dAcostheta = r^2,dOmega
A força que esse pedaço faz em dF = G,m,sigma,dAcosthetar^2 = G,m,sigma,r^2,dOmegar^2 = G,m,sigma,dOmega (a distância até o ponto é ) é
Só que nem todo “olha” diretamente pro pontinho: o componente da área que realmente “aponta” pra ele é . E a definição de ângulo sólido diz
Logo, o módulo da força fica
Repara que não depende de nem de , apenas do pedacinho de ângulo sólido .

Passo 3

Agora pega dois cones de vértice no ponto interno, de mesmo , um apontando pra “parte de baixo” da casca e outro pra “parte de cima”. Cada cone intercepta um pedacinho de casca com a mesma , produzindo duas forças de módulo idêntico , mas exatamente em sentidos opostos.
Como isso vale pra todo cone que você inventar, cada contribuição positiva é casada com uma negativa igual, e o somatório de todas as zero.

Passo 4

Se a densidade superficial dFA = G,m,sigmaA,dOmega, dFB = G,m,sigmaB,dOmega, não for constante, aí o pedacinho do cone A pode ter do cone oposto. As forças serão
e não necessariamente . Sobram componentes e o resultado final não é zero: o pontinho sente atração prá onde a casca tiver mais massa.

Resposta

A força resultante sobre a partícula dentro da casca esférica de densidade uniforme é zero.
Se a densidade superficial não for constante, o cancelamento não ocorre e aparece uma força líquida puxando o ponto para as regiões de maior densidade.

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