Considere duas massas m e 2 m com atração gravitacional. Com que velocidade angular elas devem rodar tal que a distância d entre elas fique constante?

Passo 1

Beleza, o exercício diz assim: “Temos duas massas, uma de massa m e outra de massa 2m, que se atraem pela gravidade. A gente quer que elas girem uma em torno da outra de tal forma que a distância entre elas, d, fique sempre constante. Qual a velocidade angular dessa rotação?”
Conteúdo: gravitação universal (Lei de Newton) + força centrípeta e rotação circular.
O que vamos precisar:
  1. A força gravitacional entre as duas massas: .
  2. A noção de centro de massa (CM) pra achar a distância de cada corpo ao ponto de rotação.
  3. A fórmula da força centrípeta: .

Passo 2

Primeiro, a força da gravidade entre as massas m e 2m, pela Lei de Newton da Gravitação:
FG ;=; G,m,(2m)d^2 ;=; 2,G,m^2d^2
Essa é a única força que puxa uma massa em direção à outra.

Passo 3

Como elas giram em torno do centro de massa do sistema, vamos achar a posição dele. Para duas massas r1 = m2m1 + m2,d, e r2 = m1m1 + m2,d separadas por r1 = 2mm + 2m,d = 2m3m,d = 2d3, r2 = m3m,d = d3 , a distância do CM até é
e até é
Aqui e . Então

Passo 4

Agora, para que a distância Frm cp,,m = m,omega^2,r1 = m,omega^2,2d3 seja constante, cada massa faz um movimento circular uniforme ao redor do CM, com a mesma velocidade angular m,omega^2,2d3 ;=; 2,G,m^2d^2 . A força centrípeta que mantém, por exemplo, a massa girando é
Essa força centrípeta vem justamente da atração gravitacional . Então a gente iguala:

Passo 5

Basta resolver a equação para omega^2,2d3 = 2,G,md^2 . Primeiro cancela um omega^2 = 2,G,md^2,32d = 3,G,md^3 :
omega = raiz3,G,md^3
Isolando :
Logo,

Resposta

.

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