Considere duas massas m e 2 m com atração gravitacional. Com que velocidade angular elas devem rodar tal que a distância
entre elas fique constante?
Passo 1
Beleza, o exercício diz assim: “Temos duas massas, uma de massa m e outra de massa 2m, que se atraem pela gravidade. A gente quer que elas girem uma em torno da outra de tal forma que a distância entre elas, d, fique sempre constante. Qual a velocidade angular dessa rotação?”
Conteúdo: gravitação universal (Lei de Newton) + força centrípeta e rotação circular.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- A força gravitacional entre as duas massas:
. - A noção de centro de massa (CM) pra achar a distância de cada corpo ao ponto de rotação.
- A fórmula da força centrípeta:
.
Passo 2
Primeiro, a força da gravidade entre as massas m e 2m, pela Lei de Newton da Gravitação:
Essa é a única força que puxa uma massa em direção à outra.
Passo 3
Como elas giram em torno do centro de massa do sistema, vamos achar a posição dele. Para duas massas
e
separadas por
, a distância do CM até
é
e até
é
Aqui
e
. Então
Passo 4
Agora, para que a distância
seja constante, cada massa faz um movimento circular uniforme ao redor do CM, com a mesma velocidade angular
. A força centrípeta que mantém, por exemplo, a massa
girando é
Essa força centrípeta vem justamente da atração gravitacional
. Então a gente iguala:
Passo 5
Basta resolver a equação para
. Primeiro cancela um
:
Isolando
:
Logo,