Um corpo de massa
experimenta uma força variante no tempo
que o faz mover-se ao longo do eixo
, de tal modo que sua posição seja dada como uma função do tempo por
, onde
é uma constante positiva. Ache a energia potencial do sistema como uma função da distância
da origem, supondo que aí a energia potencial seja zero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um corpo com massa $ m $ que está se movendo ao longo do eixo $ x $ de acordo com a função $ x(t) = a e^{-\alpha t} $, onde $ \alpha $ é uma constante positiva. Nosso objetivo aqui é encontrar a energia potencial $ U(x) $ desse sistema em função da distância $ x $ desde a origem, sabendo que a energia potencial na origem é zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força, trabalho e energia potencial na física.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a força $ F_x $ que atua no corpo está relacionada com a posição $ x(t) $. Sabemos que a força pode ser obtida a partir da segunda lei de Newton, que diz que $ F = m \cdot a $, onde $ a $ é a aceleração.
Passo 3
Vamos calcular a aceleração do corpo. A aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Então, começamos derivando $ x(t) $ em relação ao tempo para encontrar a velocidade $ v(t) $:
Agora, derivamos a velocidade para encontrar a aceleração $ a(t) $:
Passo 4
Agora que temos a aceleração, usamos a segunda lei de Newton para encontrar a força $ F_x $:
Essa é a força que está atuando no corpo ao longo do eixo $ x $.
Passo 5
Queremos encontrar a energia potencial $ U(x) $. Sabemos que a força é relacionada à energia potencial pela relação:
Então, podemos reescrever isso como:
Substituindo $ F_x $ que encontramos:
Passo 6
Agora, precisamos expressar tudo em termos de $ x $, não de $ t $. Sabemos que $ x(t) = a e^{-\alpha t} $, então podemos resolver para $ e^{-\alpha t} $:
Substituindo de volta na expressão para $ \frac{dU}{dx} $:
Passo 7
Agora, integramos $ \frac{dU}{dx} $ em relação a $ x $ para encontrar $ U(x) $:
Aqui, $ C $ é a constante de integração.
Passo 8
Sabemos que a energia potencial na origem ($ x = 0 $) é zero:
Então, a expressão para $ U(x) $ fica:
Resposta
A energia potencial do sistema em função da distância $ x $ da origem é