Um corpo de massa m experimenta uma força variante no tempo Fx que o faz mover-se ao longo do eixo x, de tal modo que sua posição seja dada como uma função do tempo por x(t)=a e^-alpha t, onde alpha é uma constante positiva. Ache a energia potencial do sistema como uma função da distância x da origem, supondo que aí a energia potencial seja zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um corpo com massa $ m $ que está se movendo ao longo do eixo $ x $ de acordo com a função $ x(t) = a e^{-\alpha t} $, onde $ \alpha $ é uma constante positiva. Nosso objetivo aqui é encontrar a energia potencial $ U(x) $ desse sistema em função da distância $ x $ desde a origem, sabendo que a energia potencial na origem é zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força, trabalho e energia potencial na física.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a força $ F_x $ que atua no corpo está relacionada com a posição $ x(t) $. Sabemos que a força pode ser obtida a partir da segunda lei de Newton, que diz que $ F = m \cdot a $, onde $ a $ é a aceleração.

Passo 3

Vamos calcular a aceleração do corpo. A aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Então, começamos derivando $ x(t) $ em relação ao tempo para encontrar a velocidade $ v(t) $:
x(t)
Agora, derivamos a velocidade para encontrar a aceleração $ a(t) $:
v(t)

Passo 4

Agora que temos a aceleração, usamos a segunda lei de Newton para encontrar a força $ F_x $:
Fx
Essa é a força que está atuando no corpo ao longo do eixo $ x $.

Passo 5

Queremos encontrar a energia potencial $ U(x) $. Sabemos que a força é relacionada à energia potencial pela relação:
U(x)
Então, podemos reescrever isso como:
Fx = -dUdx
Substituindo $ F_x $ que encontramos:
dUdx = -Fx

Passo 6

Agora, precisamos expressar tudo em termos de $ x $, não de $ t $. Sabemos que $ x(t) = a e^{-\alpha t} $, então podemos resolver para $ e^{-\alpha t} $:
x
Substituindo de volta na expressão para $ \frac{dU}{dx} $:
t

Passo 7

Agora, integramos $ \frac{dU}{dx} $ em relação a $ x $ para encontrar $ U(x) $:
dUdx
Aqui, $ C $ é a constante de integração.

Passo 8

Sabemos que a energia potencial na origem ($ x = 0 $) é zero:
x = 0
Então, a expressão para $ U(x) $ fica:
U(0) = -12 m alpha^2 (0)^2 + C = 0 Rightarrow C = 0

Resposta

A energia potencial do sistema em função da distância $ x $ da origem é
x

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