Um corpo de massa
experimenta uma força variante no tempo
que o faz mover-se ao longo do eixo
, de tal modo que sua posição seja dada como uma função do tempo por
, onde
é uma constante positiva. Ache a força resultante que atua no corpo quando sua distância da origem tem o valor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de física juntos! A gente tem um corpo com massa $ m $ que está se movendo ao longo do eixo $ x $ com uma posição descrita por $ x(t) = a e^{-\alpha t} $, onde $ \alpha $ é uma constante positiva. Nosso objetivo aqui é encontrar a força resultante $ F_x $ que está agindo nesse corpo quando ele está a uma distância $ x $ da origem. Para isso, vamos precisar usar conceitos de movimento e a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a segunda lei de Newton diz que a força $ F $ é igual à massa $ m $ multiplicada pela aceleração $ a $:
Então, para encontrar $ F_x $, precisamos descobrir qual é a aceleração do corpo.
Passo 3
A posição do corpo é dada por $ x(t) = a e^{-\alpha t} $. Para encontrar a aceleração, precisamos primeiro encontrar a velocidade e depois a aceleração. A velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo:
Vamos calcular essa derivada.
Passo 4
Calculando a derivada de $ x(t) $:
Agora, temos a expressão para a velocidade.
Passo 5
Agora, vamos achar a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Vamos calcular essa derivada.
Passo 6
Calculando a derivada de $ v(t) $:
Então, a aceleração é $ a(t) = a \alpha^2 e^{-\alpha t} $.
Passo 7
Agora que temos a aceleração, podemos usar a segunda lei de Newton para encontrar a força:
Mas queremos a força em função de $ x $, então precisamos relacionar $ e^{-\alpha t} $ com $ x $.
Passo 8
Sabemos que $ x(t) = a e^{-\alpha t} $. Podemos resolver essa equação para $ e^{-\alpha t} $:
Substituindo isso na expressão da força:
Passo 9
Substituindo $ e^{-\alpha t} $ por $ \frac{x}{a} $ na força:
Simplificando:
Resposta
A força resultante que atua no corpo quando sua distância da origem é $ x $ é: