Um corpo de massa m experimenta uma força variante no tempo Fx que o faz mover-se ao longo do eixo x, de tal modo que sua posição seja dada como uma função do tempo por x(t)=a e^-alpha t, onde alpha é uma constante positiva. Ache a força resultante que atua no corpo quando sua distância da origem tem o valor x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de física juntos! A gente tem um corpo com massa $ m $ que está se movendo ao longo do eixo $ x $ com uma posição descrita por $ x(t) = a e^{-\alpha t} $, onde $ \alpha $ é uma constante positiva. Nosso objetivo aqui é encontrar a força resultante $ F_x $ que está agindo nesse corpo quando ele está a uma distância $ x $ da origem. Para isso, vamos precisar usar conceitos de movimento e a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a segunda lei de Newton diz que a força $ F $ é igual à massa $ m $ multiplicada pela aceleração $ a $:
F
Então, para encontrar $ F_x $, precisamos descobrir qual é a aceleração do corpo.

Passo 3

A posição do corpo é dada por $ x(t) = a e^{-\alpha t} $. Para encontrar a aceleração, precisamos primeiro encontrar a velocidade e depois a aceleração. A velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo:
x(t) = a e^-alpha t
Vamos calcular essa derivada.

Passo 4

Calculando a derivada de $ x(t) $:
x(t)
Agora, temos a expressão para a velocidade.

Passo 5

Agora, vamos achar a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dvdt
Vamos calcular essa derivada.

Passo 6

Calculando a derivada de $ v(t) $:
v(t)
Então, a aceleração é $ a(t) = a \alpha^2 e^{-\alpha t} $.

Passo 7

Agora que temos a aceleração, podemos usar a segunda lei de Newton para encontrar a força:
Fx = m cdot a(t) = m cdot a alpha^2 e^-alpha t
Mas queremos a força em função de $ x $, então precisamos relacionar $ e^{-\alpha t} $ com $ x $.

Passo 8

Sabemos que $ x(t) = a e^{-\alpha t} $. Podemos resolver essa equação para $ e^{-\alpha t} $:
x(t) = a e^-alpha t
Substituindo isso na expressão da força:

Passo 9

Substituindo $ e^{-\alpha t} $ por $ \frac{x}{a} $ na força:
e^-alpha t
Simplificando:

Resposta

A força resultante que atua no corpo quando sua distância da origem é $ x $ é:
x

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