Um corpo de massa
experimenta uma força variante no tempo
que o faz mover-se ao longo do eixo
, de tal modo que sua posição seja dada como uma função do tempo por
, onde
é uma constante positiva. Ache a energia cinética em qualquer ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de cinemática onde um corpo de massa $ m $ se move ao longo do eixo $ x $ com a posição dada por $ x(t) = a e^{-\alpha t} $. Queremos achar a energia cinética desse corpo em qualquer ponto $ x $. Para isso, vamos precisar calcular a velocidade a partir da posição e depois usar a fórmula da energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética ($ E_k $) é calculada pela fórmula:
Aqui, $ m $ é a massa do corpo e $ v $ é a velocidade dele.
Passo 3
Como a posição está dada por $ x(t) = a e^{-\alpha t} $, para encontrar a velocidade $ v(t) $, precisamos derivar $ x(t) $ em relação ao tempo $ t $:
Passo 4
Fazendo a derivada, temos:
O sinal negativo indica que a velocidade está na direção oposta ao aumento de $ t $, mas para a energia cinética, que depende do quadrado da velocidade, isso não vai interferir no resultado final.
Passo 5
Agora, queremos expressar a velocidade em função de $ x $ e não de $ t $. Sabemos que:
Substituindo isso na expressão da velocidade:
Passo 6
Como a energia cinética depende do quadrado da velocidade, vamos calcular $ v^2 $:
Agora, substituímos $ v^2 $ na fórmula da energia cinética:
Resposta
A energia cinética em qualquer ponto $ x $ é: