Um corpo de massa m experimenta uma força variante no tempo Fx que o faz mover-se ao longo do eixo x, de tal modo que sua posição seja dada como uma função do tempo por x(t)=a e^-alpha t, onde alpha é uma constante positiva. Ache a energia cinética em qualquer ponto x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de cinemática onde um corpo de massa $ m $ se move ao longo do eixo $ x $ com a posição dada por $ x(t) = a e^{-\alpha t} $. Queremos achar a energia cinética desse corpo em qualquer ponto $ x $. Para isso, vamos precisar calcular a velocidade a partir da posição e depois usar a fórmula da energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética ($ E_k $) é calculada pela fórmula:
Ek
Aqui, $ m $ é a massa do corpo e $ v $ é a velocidade dele.

Passo 3

Como a posição está dada por $ x(t) = a e^{-\alpha t} $, para encontrar a velocidade $ v(t) $, precisamos derivar $ x(t) $ em relação ao tempo $ t $:
x(t) = a e^-alpha t

Passo 4

Fazendo a derivada, temos:
v(t) = -a alpha e^-alpha t
O sinal negativo indica que a velocidade está na direção oposta ao aumento de $ t $, mas para a energia cinética, que depende do quadrado da velocidade, isso não vai interferir no resultado final.

Passo 5

Agora, queremos expressar a velocidade em função de $ x $ e não de $ t $. Sabemos que:
x
Substituindo isso na expressão da velocidade:
t

Passo 6

Como a energia cinética depende do quadrado da velocidade, vamos calcular $ v^2 $:
v^2
Agora, substituímos $ v^2 $ na fórmula da energia cinética:
v^2 = (alpha x)^2 = alpha^2 x^2

Resposta

A energia cinética em qualquer ponto $ x $ é:
x

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