Duas pequenas esferas metálicas iguais são suspensas de um ponto 0 por dois fios isolantes de mesmo comprimento l=0,5 m. As esferas são igualmente eletrizadas com cargas Q=1,0 mu C. Sabendo-se que, na posição de equilíbrio, os fios formam com a vertical ângulos de 45^circ, determine o peso de cada esfera.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas esferas metálicas iguais, cada uma com uma carga de $ Q = 1,0 , \mu C $, presas por fios de mesmo comprimento $ l = 0,5 , m $. No equilíbrio, os fios formam um ângulo de $ 45^\circ $ com a vertical. A missão aqui é descobrir o peso de cada esfera. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de força elétrica (Lei de Coulomb) e equilíbrio de forças em estágios estáticos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as forças que atuam em cada esfera. Cada esfera está sujeita a três forças principais:
  1. Peso ($ P $): Força para baixo devido à gravidade.
  2. **Tensão ($ T P çé T_x T T_y $).
  3. Força Elétrica ($ F_e $): Força de repulsão entre as duas esferas devido às cargas iguais.
Como as esferas estão em equilíbrio, a soma das forças em cada direção deve ser zero.

Passo 3

Vamos detalhar as forças:
  • Força Elétrica ($ F_e $): Pelo ponto de carga, as esferas se repelem. A Lei de Coulomb nos dá:
    Fe
    onde $ k = 8,988 \times 10^9 , N·m2/\text{C}2 $ é a constante de Coulomb e $ r $ é a distância entre as esferas.
  • Tensão ($ T $): Tem duas componentes:
    Fe = k Q^2r^2
    k = 8,988 times 10^9 , N·m^2/C^2
    onde $ \theta = 45^\circ $ é o ângulo com a vertical.
  • Peso ($ P $): Simplesmente:
    r
    onde $ m $ é a massa e $ g $ a aceleração da gravidade.

Passo 4

Como está em equilíbrio, as forças horizontais e verticais se equilibram:
Tx = Fe (horizontal)
Ty = P (vertical)
Dividindo as duas equações para eliminar $ T $:
T
Portanto:
TxTy = FeP = T sin thetaT cos theta = tan theta

Passo 5

Agora, precisamos encontrar $ F_e $. Primeiro, determinamos a distância $ r $ entre as esferas. Com os fios de comprimento $ l $ formando $ 45^\circ $ com a vertical, a distância horizontal entre elas é:
Fe
Substituindo $ l = 0,5 , m $ e $ \theta = 45^\circ $:
r
Agora, calculamos $ F_e $:
l

Passo 6

Finalmente, usamos a relação encontrada para o peso:
P = Fetan theta = 1,80 times 10^-2tan 45^circ = 1,80 times 10^-2 , N
(Lembrando que $ \tan 45^\circ = 1 $)

Resposta

O peso de cada esfera é aproximadamente $ 0,018 , N $.

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