Duas pequenas esferas metálicas iguais são suspensas de um ponto 0 por dois fios isolantes de mesmo comprimento
. As esferas são igualmente eletrizadas com cargas
. Sabendo-se que, na posição de equilíbrio, os fios formam com a vertical ângulos de
, determine o peso de cada esfera.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas esferas metálicas iguais, cada uma com uma carga de $ Q = 1,0 , \mu C $, presas por fios de mesmo comprimento $ l = 0,5 , m $. No equilíbrio, os fios formam um ângulo de $ 45^\circ $ com a vertical. A missão aqui é descobrir o peso de cada esfera. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de força elétrica (Lei de Coulomb) e equilíbrio de forças em estágios estáticos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as forças que atuam em cada esfera. Cada esfera está sujeita a três forças principais:
- Peso ($ P $): Força para baixo devido à gravidade.
- **Tensão ($ T
T_x T_y $). - Força Elétrica ($ F_e $): Força de repulsão entre as duas esferas devido às cargas iguais.
Como as esferas estão em equilíbrio, a soma das forças em cada direção deve ser zero.
Passo 3
Vamos detalhar as forças:
-
Força Elétrica ($ F_e $): Pelo ponto de carga, as esferas se repelem. A Lei de Coulomb nos dá:onde $ k = 8,988 \times 10^9 , N·m2/\text{C}2 $ é a constante de Coulomb e $ r $ é a distância entre as esferas.
-
Tensão ($ T $): Tem duas componentes:onde $ \theta = 45^\circ $ é o ângulo com a vertical.
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Peso ($ P $): Simplesmente:onde $ m $ é a massa e $ g $ a aceleração da gravidade.
Passo 4
Como está em equilíbrio, as forças horizontais e verticais se equilibram:
Dividindo as duas equações para eliminar $ T $:
Portanto:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar $ F_e $. Primeiro, determinamos a distância $ r $ entre as esferas. Com os fios de comprimento $ l $ formando $ 45^\circ $ com a vertical, a distância horizontal entre elas é:
Substituindo $ l = 0,5 , m $ e $ \theta = 45^\circ $:
Agora, calculamos $ F_e $:
Passo 6
Finalmente, usamos a relação encontrada para o peso:
(Lembrando que $ \tan 45^\circ = 1 $)
Resposta
O peso de cada esfera é aproximadamente $ 0,018 , N $.