Um corpo de massa m experimenta uma força variante no tempo Fx que o faz mover-se ao longo do eixo x, de tal modo que sua posição seja dada como uma função do tempo por x(t)=a e^-alpha t, onde alpha é uma constante positiva. Ache a energia cinética em qualquer instante t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um corpo com massa $ m $ que está se movendo ao longo do eixo $ x $ com uma posição dada por $ x(t) = a \mathrm{e}^{-\alpha t} $, onde $ \alpha $ é uma constante positiva. Nosso objetivo aqui é encontrar a energia cinética desse corpo em qualquer instante $ t $. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos básicos de cinemática e dinâmica, como derivadas para encontrar a velocidade e, em seguida, calcular a energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a energia cinética ($ E_c $) de um corpo é dada pela fórmula:
Ec
Onde:
  • $ m $ é a massa do corpo
  • $ v $ é a velocidade do corpo
Para encontrar a energia cinética, precisamos descobrir a velocidade ($ v(t) $) do corpo em qualquer instante $ t $.

Passo 3

Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
v(t) = dx(t)dt
Dada a posição $ x(t) = a \mathrm{e}^{-\alpha t} $, vamos derivar essa expressão para encontrar $ v(t) $.
x(t) = a e^-alpha t
Aplicando a regra da derivada para exponenciais:
v(t)

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade $ v(t) = -a \alpha \mathrm{e}^{-\alpha t} $, vamos calcular a energia cinética usando a fórmula da energia cinética mencionada anteriormente.
v(t) = -a alpha e^-alpha t
Substituindo $ v(t) $:
Ec = 12 m v^2

Passo 5

Simplificando a expressão:
Ec = 12 m ( a^2 alpha^2 e^-2alpha t )
Ec = 12 m a^2 alpha^2 e^-2alpha t

Resposta

A energia cinética do corpo em qualquer instante $ t $ é:
t

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