Um corpo de massa
experimenta uma força variante no tempo
que o faz mover-se ao longo do eixo
, de tal modo que sua posição seja dada como uma função do tempo por
, onde
é uma constante positiva. Ache a energia cinética em qualquer instante
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um corpo com massa $ m $ que está se movendo ao longo do eixo $ x $ com uma posição dada por $ x(t) = a \mathrm{e}^{-\alpha t} $, onde $ \alpha $ é uma constante positiva. Nosso objetivo aqui é encontrar a energia cinética desse corpo em qualquer instante $ t $. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos básicos de cinemática e dinâmica, como derivadas para encontrar a velocidade e, em seguida, calcular a energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a energia cinética ($ E_c $) de um corpo é dada pela fórmula:
Onde:
- $ m $ é a massa do corpo
- $ v $ é a velocidade do corpo
Para encontrar a energia cinética, precisamos descobrir a velocidade ($ v(t) $) do corpo em qualquer instante $ t $.
Passo 3
Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Dada a posição $ x(t) = a \mathrm{e}^{-\alpha t} $, vamos derivar essa expressão para encontrar $ v(t) $.
Aplicando a regra da derivada para exponenciais:
Passo 4
Agora que temos a expressão para a velocidade $ v(t) = -a \alpha \mathrm{e}^{-\alpha t} $, vamos calcular a energia cinética usando a fórmula da energia cinética mencionada anteriormente.
Substituindo $ v(t) $:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Resposta
A energia cinética do corpo em qualquer instante $ t $ é: