Um corpo de massa
é lançado verticalmente a partir do solo, com velocidade
em um ambiente de gravidade
e sofre uma resistência do ar proporcional à sua velocidade instantânea, sendo
a constante de proporcionalidade. (a) Determine sua velocidade como função do tempo e das constantes do problema. (b) Determine o tempo requerido par que atinja a altura máxima. O movimento é regido pela seguinte equação:
Passo 1
O enunciado dá um corpo de massa
lançado verticalmente para cima (eixo positivo para cima) com velocidade inicial
, sofrendo gravidade
para baixo e resistência do ar proporcional à velocidade, constante
. A equação do movimento é a EDO linear de 1º ordem
Vamos escrever a EDO em forma padrão e usar o fator integrante para encontrar
. Em seguida, achamos o tempo em que
.
Passo 2
Colocamos a EDO em forma padrão dividindo por
:
O fator integrante é
Multiplicando a EDO por
fica
que é equivalente a
Passo 3
Integramos ambos os lados em
:
onde
é constante de integração. Logo,
Passo 4
Usamos a condição inicial
:
Substituindo em
obtemos
Passo 5
Para achar o tempo
em que atinge a altura máxima, imposto
:
Logo,
e daí
Resposta
(a)
(b)