Um corpo de massa m é lançado verticalmente a partir do solo, com velocidade V0 em um ambiente de gravidade g e sofre uma resistência do ar proporcional à sua velocidade instantânea, sendo k a constante de proporcionalidade. (a) Determine sua velocidade como função do tempo e das constantes do problema. (b) Determine o tempo requerido par que atinja a altura máxima. O movimento é regido pela seguinte equação:
m d Vd t=-m g-k V

Passo 1

O enunciado dá um corpo de massa m lançado verticalmente para cima (eixo positivo para cima) com velocidade inicial V0, sofrendo gravidade g para baixo e resistência do ar proporcional à velocidade, constante k. A equação do movimento é a EDO linear de 1º ordem
mdVdt=-m g - k V
Vamos escrever a EDO em forma padrão e usar o fator integrante para encontrar V(t). Em seguida, achamos o tempo em que V(t)=0.

Passo 2

Colocamos a EDO em forma padrão dividindo por m:
dVdt + km,V = -g
O fator integrante é
mu(t)=expl(integral km,dtr)=e^tfrackmt
Multiplicando a EDO por mu(t) fica
e^tfrackmtdVdt + kme^tfrackmtV = -g,e^tfrackmt,
que é equivalente a
ddtl(e^tfrackmtVr) = -g,e^tfrackmt

Passo 3

Integramos ambos os lados em t:
e^tfrackmtV = integral -g,e^tfrackmt,dt + C = -g cdot mk,e^tfrackmt + C,
onde C é constante de integração. Logo,
V(t) = -m gk + C,e^-tfrackmt

Passo 4

Usamos a condição inicial V(0)=V0:
V(0) = -m gk + C = V0 Longrightarrow C = V0 + m gk
Substituindo em V(t) obtemos
boxedV(t)=l(V0 + m gkr)e^-tfrackmt ;-;m gk

Passo 5

Para achar o tempo tmax em que atinge a altura máxima, imposto V(tmax)=0:
0 = l(V0 + m gkr)e^-tfrackmtmax -m gk Longrightarrow l(V0 + m gkr)e^-tfrackmtmax = m gk
Logo,
e^-tfrackmtmax = tfracm gkV0 + tfracm gk = m gkV0 + m g
e daí
boxedtmax=mkln!l(1+k,V0m gr)

Resposta

(a) V(t)=l(V0 + m gkr)e^-tfrackmt-m gk
(b) tmax=mkln!l(1+k V0m gr)

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