Sejam A1, A2, ldots, An+1 conjuntos enumeráveis. Prove que A1 times A2 times cdots times An+1 é enumerável.

Passo 1

Então, a gente tem um problema envolvendo conjuntos enumeráveis. Especificamente, temos A1, A2, ldots, An+1, que são conjuntos enumeráveis, e queremos provar que o produto cartesiano desses conjuntos, ou seja, A1 times A2 times cdots times An+1, também é enumerável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser enumerável e como construir uma lista que consiga listar todos os elementos desse produto cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto enumerável. Um conjunto é enumerável se conseguimos colocar seus elementos em uma sequência, como uma lista infinita: a1, a2, a3, ldots. Isso significa que conseguimos contar os elementos, mesmo que haja infinitos.

Passo 3

Agora, o que é um produto cartesiano? O produto cartesiano de vários conjuntos, como A1 times A2 times cdots times An+1, consiste em todas as tuplas (a1, a2, ldots, an+1) onde cada ai pertence ao conjunto Ai. Por exemplo, se temos dois conjuntos, o produto cartesiano seria todas as combinações possíveis de pares (a1, a2).

Passo 4

Como queremos provar que esse produto cartesiano é enumerável, vamos usar uma técnica conhecida como contagem por passos múltiplos ou intercalamento. A ideia é que, se cada conjunto Ai é enumerável, podemos listar todas as possíveis combinações das tuplas de forma a não deixar nenhum elemento de fora.

Passo 5

Para visualizar isso, imagine que cada conjunto Ai tem seus elementos listados como Ai = ai1, ai2, ai3, ldots. Então, uma tupla no produto cartesiano seria (a11, a21, ldots, a(n+1)1), (a12, a22, ldots, a(n+1)2), e assim por diante.

Passo 6

Podemos construir uma lista que percorre todas essas tuplas de forma organizada. Uma maneira de fazer isso é ordenar as tuplas pela soma dos índices, ou usando alguma outra regra que garanta que cada tupla seja eventualmente listada. Como há apenas um número finito de conjuntos ( n+1), essa ordenação é possível e não deixa passar nenhuma tupla.

Passo 7

Assim, conseguimos criar uma sequência infinita que inclui todas as tuplas do produto cartesiano, sem repetir nenhuma e sem deixar nenhuma de fora. Isso mostra que o produto cartesiano A1 times A2 times cdots times An+1 é, de fato, enumerável.

Resposta

Portanto, provamos que o produto cartesiano de n+1 conjuntos enumeráveis é também enumerável.

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