Sejam
um conjunto finito e
um conjunto enumerável. Prove que o conjunto
formado por todas as funções
é enumerável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre conjuntos finitos e enumeráveis e nos pede para provar que o conjunto
de todas as funções de
para
é enumerável. Isso está dentro do tópico de Teoria dos Conjuntos, mais especificamente sobre contagem de funções entre conjuntos. Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser enumerável e como as funções entre conjuntos se comportam em termos de cardinalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto enumerável. Um conjunto é enumerável se seus elementos podem ser colocados em uma sequência, ou seja, se podemos listar todos os seus elementos de maneira que cada elemento tenha uma posição na lista.
Passo 3
Como
é um conjunto finito, digamos que ele tem
elementos. E
é enumerável, ou seja, podemos listar seus elementos como
.
Passo 4
Agora, queremos considerar todas as funções
. Cada função pode ser vista como uma atribuição de um elemento de
para cada elemento de
. Como
tem
elementos, cada função é determinada por uma sequência de
elementos de
.
Passo 5
Então, o conjunto
de todas as funções
pode ser visto como o produto cartesiano
, que é o conjunto de todas as sequências de
elementos de
.
Passo 6
Sabemos que um produto cartesiano de um número finito de conjuntos enumeráveis também é enumerável. Isso ocorre porque podemos listar todas as sequências de
elementos de
de maneira ordenada, combinando as listas de cada posição.
Passo 7
Portanto, já que
é enumerável e
é finito, o conjunto
também é enumerável. Consequentemente, o conjunto de todas as funções de
para
é enumerável.
Resposta
O conjunto
de todas as funções de
para
é enumerável.