Sejam X um conjunto finito e Y um conjunto enumerável. Prove que o conjunto F formado por todas as funções f: X Y é enumerável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre conjuntos finitos e enumeráveis e nos pede para provar que o conjunto F de todas as funções de X para Y é enumerável. Isso está dentro do tópico de Teoria dos Conjuntos, mais especificamente sobre contagem de funções entre conjuntos. Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser enumerável e como as funções entre conjuntos se comportam em termos de cardinalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto enumerável. Um conjunto é enumerável se seus elementos podem ser colocados em uma sequência, ou seja, se podemos listar todos os seus elementos de maneira que cada elemento tenha uma posição na lista.

Passo 3

Como X é um conjunto finito, digamos que ele tem n elementos. E Y é enumerável, ou seja, podemos listar seus elementos como Y = y1, y2, y3, dots .

Passo 4

Agora, queremos considerar todas as funções f: X Y . Cada função pode ser vista como uma atribuição de um elemento de Y para cada elemento de X . Como X tem n elementos, cada função é determinada por uma sequência de n elementos de Y .

Passo 5

Então, o conjunto F de todas as funções f: X Y pode ser visto como o produto cartesiano Y^n , que é o conjunto de todas as sequências de n elementos de Y .

Passo 6

Sabemos que um produto cartesiano de um número finito de conjuntos enumeráveis também é enumerável. Isso ocorre porque podemos listar todas as sequências de n elementos de Y de maneira ordenada, combinando as listas de cada posição.

Passo 7

Portanto, já que Y é enumerável e X é finito, o conjunto F = Y^n também é enumerável. Consequentemente, o conjunto de todas as funções de X para Y é enumerável.

Resposta

O conjunto F de todas as funções de X para Y é enumerável.

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