Resolva as seguintes equações diferenciais
d yd x=xy^2 raiz1+x^2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
dydx = xy^2,raiz1+x^2
e pede a solução geral. O método aqui é separação de variáveis, ou seja, a gente vai isolar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro e então integrar.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
y^2,dy = xraiz1+x^2,dx
e aplique a integral em ambos os lados:
integral y^2,dy = integral xraiz1+x^2,dx

Passo 3

Calcule a integral do lado esquerdo diretamente:
integral y^2,dy = y^33
Para o lado direito, use a substituição
u = 1+x^2, du = 2x,dx
de modo que
integral xraiz1+x^2,dx = integral 12,duraizu = 12cdot 2raizu = raiz1+x^2

Passo 4

Igualando as duas integrais e incluindo a constante de integração C:
y^33 = raiz1+x^2 + C
Multiplique tudo por 3 e redefina a constante ( C1=3C):
y^3 = 3raiz1+x^2 + C1

Passo 5

Basta agora isolar y extraindo a raiz cúbica:
y = l(3raiz1+x^2 + C1r)^13

Resposta

y(x) = l(3raiz1+x^2 + Cr)^tfrac13,
onde C é a constante de integração.

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