Um corpo de massa M está mergulhado num fluído. O corpo é colocado em uma trajetória circular de raio r. Sua velocidade inicial é \omega_{0} e a sua equação da velocidade é
\omega(t)=\omega_{0} e^{-R t}
onde R é um coeficiente de amortecimento.
a) Qual é o momento de inércia I do corpo em relação ao eixo que passa pelo centro da trajetória circular e é perpendicular ao plano da trajetória.
b) Qual é a expressão da energia cinética de rotação K(t).
c) O que acontece com a energia cinética a medida que o tempo passa.
d) Em qual instante a energia cinética será 1 / e da energia cinética inicial K_{0} e de quanto é K_{0} ?.
R. t=\frac{1}{2 R}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede quatro coisas.
Informações fornecidas:
  • Massa do corpo: M.
  • Raio da trajetória circular: r.
  • Velocidade angular inicial: \omega_{0}.
  • Velocidade angular no tempo t: \omega(t)=\omega_{0} e^{-R t}, onde R é o coeficiente de amortecimento.
Perguntas do enunciado:
a) Qual é o momento de inércia I do corpo em relação ao eixo que passa pelo centro da trajetória e é perpendicular ao plano da trajetória?
b) Qual é a expressão da energia cinética de rotação K(t)?
c) O que acontece com a energia cinética à medida que o tempo passa?
d) Em qual instante a energia cinética será 1/e da energia cinética inicial K_{0} e quanto vale K_{0}?

Passo 2

Entendendo e calculando o momento de inércia I.
Conceito rápido: o momento de inércia é a “inércia rotacional” — mede quanto difícil é mudar a rotação de um corpo. Para um conjunto de massas discretas a definição é a soma dos produtos das massas pelos quadrados das distâncias ao eixo:
I=\sum_{i} m_{i} r_{i}^{2}.
No caso de um único corpo tratado como partícula de massa M deslocada a uma distância fixa r do eixo (situação padrão para uma partícula descrevendo uma circunferência de raio r), a soma reduz-se a um único termo. Assim,
I = M r^{2}.
Explicação do porquê: cada ponto de massa contribui com m r^{2} ao momento de inércia; com só uma massa M a distância ao eixo é r, logo I=M r^{2}.

Passo 3

Fórmula da energia cinética de rotação e substituição de \omega(t).
Teoria básica: a energia cinética associada à rotação de um corpo rígido em torno de um eixo é
K=\tfrac{1}{2} I \omega^{2},
onde I é o momento de inércia (explicado acima) e \omega é a velocidade angular no instante considerado.
Aplicando ao nosso caso, primeiro calculemos \omega(t)^{2}. Dado \omega(t)=\omega_{0} e^{-R t}, temos
\omega(t)^{2}=\omega_{0}^{2} e^{-2 R t}.
Substituindo I= M r^{2} e \omega(t)^{2} na fórmula de K,
K(t)=\tfrac{1}{2} \, I \, \omega(t)^{2} =\tfrac{1}{2}\, M r^{2}\, \big(\omega_{0}^{2} e^{-2 R t}\big).
Podemos escrever de forma compacta:
K(t)=\tfrac{1}{2} M r^{2} \omega_{0}^{2} e^{-2 R t}.

Passo 4

Comportamento temporal da energia cinética e interpretação física.
Da expressão obtida temos que a energia cinética é proporcional a e^{-2Rt}. Escrevendo K_{0} para a energia inicial (em t=0),
K_{0}=K(0)=\tfrac{1}{2} M r^{2} \omega_{0}^{2}.
Então
K(t)=K_{0} e^{-2 R t}.
Isso nos diz que:
  • K(t) decai exponencialmente com o tempo, com fator de decaimento 2R.
  • Em particular, \displaystyle \lim_{t\to\infty} K(t)=0: a energia cinética tende a zero quando o tempo cresce muito.
  • Física simples: o fluido aplica forças de amortecimento que dissipam energia cinética do corpo (transformando-a em calor no fluido, por exemplo), por isso a energia do movimento diminui.
Para ver a taxa de variação instantânea, podemos derivar:
\frac{dK}{dt} = -2R K(t),
que mostra que a taxa de perda de energia é proporcional à energia instantânea, característico de decaimento exponencial.

Passo 5

Instante em que K(t)=\tfrac{1}{e}K_{0} e cálculo explícito de K_{0}.
Queremos K(t)=\tfrac{1}{e}K_{0}. Usando K(t)=K_{0} e^{-2Rt},
K_{0} e^{-2Rt} = \tfrac{1}{e} K_{0}.
Cancelando K_{0} (presume-se K_{0}\neq 0),
e^{-2Rt} = e^{-1}.
Tomando logaritmo ou igualando expoentes:
-2Rt = -1 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{1}{2R}.
O valor de K_{0} já foi dado acima:
K_{0}=\tfrac{1}{2} M r^{2} \omega_{0}^{2}.

Resposta

a) I=M r^{2}
b) K(t)=\tfrac{1}{2} M r^{2} \omega_{0}^{2} e^{-2 R t}
c) A energia cinética decai exponencialmente para zero com o tempo, segundo K(t)=K_{0} e^{-2Rt}.
d) t=\dfrac{1}{2R} \n K_{0}=\tfrac{1}{2} M r^{2} \omega_{0}^{2}

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