Um corpo de massa
está mergulhado num fluído. O corpo é colocado em uma trajetória circular de raio
. Sua velocidade inicial é
e a sua equação da velocidade é
onde
é um coeficiente de amortecimento.
a) Qual é o momento de inércia
do corpo em relação ao eixo que passa pelo centro da trajetória circular e é perpendicular ao plano da trajetória.
b) Qual é a expressão da energia cinética de rotação
.
c) O que acontece com a energia cinética a medida que o tempo passa.
d) Em qual instante a energia cinética será
da energia cinética inicial
e de quanto é
?.
R.
a) Qual é o momento de inércia
b) Qual é a expressão da energia cinética de rotação
c) O que acontece com a energia cinética a medida que o tempo passa.
d) Em qual instante a energia cinética será
R.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede quatro coisas.
Informações fornecidas:
- Massa do corpo:
. - Raio da trajetória circular:
. - Velocidade angular inicial:
. - Velocidade angular no tempo
: , onde é o coeficiente de amortecimento.
Perguntas do enunciado:
a) Qual é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo que passa pelo centro da trajetória e é perpendicular ao plano da trajetória?
b) Qual é a expressão da energia cinética de rotação ?
c) O que acontece com a energia cinética à medida que o tempo passa?
d) Em qual instante a energia cinética será da energia cinética inicial
e quanto vale
?
a) Qual é o momento de inércia
b) Qual é a expressão da energia cinética de rotação
c) O que acontece com a energia cinética à medida que o tempo passa?
d) Em qual instante a energia cinética será
Passo 2
Entendendo e calculando o momento de inércia
.
Conceito rápido: o momento de inércia é a “inércia rotacional” — mede quanto difícil é mudar a rotação de um corpo. Para um conjunto de massas discretas a definição é a soma dos produtos das massas pelos quadrados das distâncias ao eixo:
No caso de um único corpo tratado como partícula de massa
deslocada a uma distância fixa
do eixo (situação padrão para uma partícula descrevendo uma circunferência de raio
), a soma reduz-se a um único termo. Assim,
Explicação do porquê: cada ponto de massa contribui com
ao momento de inércia; com só uma massa
a distância ao eixo é
, logo
.
Passo 3
Fórmula da energia cinética de rotação e substituição de
.
Teoria básica: a energia cinética associada à rotação de um corpo rígido em torno de um eixo é
onde
é o momento de inércia (explicado acima) e
é a velocidade angular no instante considerado.
Aplicando ao nosso caso, primeiro calculemos
. Dado
, temos
Substituindo
e
na fórmula de
,
Podemos escrever de forma compacta:
Passo 4
Comportamento temporal da energia cinética e interpretação física.
Da expressão obtida temos que a energia cinética é proporcional a
. Escrevendo
para a energia inicial (em
),
Então
Isso nos diz que:
-
decai exponencialmente com o tempo, com fator de decaimento . - Em particular,
: a energia cinética tende a zero quando o tempo cresce muito. - Física simples: o fluido aplica forças de amortecimento que dissipam energia cinética do corpo (transformando-a em calor no fluido, por exemplo), por isso a energia do movimento diminui.
Para ver a taxa de variação instantânea, podemos derivar:
que mostra que a taxa de perda de energia é proporcional à energia instantânea, característico de decaimento exponencial.
Passo 5
Instante em que
e cálculo explícito de
.
Queremos
. Usando
,
Cancelando
(presume-se
),
Tomando logaritmo ou igualando expoentes:
O valor de
já foi dado acima:
Resposta
a)
b)
c) A energia cinética decai exponencialmente para zero com o tempo, segundo .
d) \n
b)
c) A energia cinética decai exponencialmente para zero com o tempo, segundo
d)