Numa viajem espacial, um dos problemas é a ausência da gravidade. A longa permanência em um ambiente sem gravidade causa a descalcificação dos ossos, degeneração do tecido muscular e vômitos constantes. Assim o astronauta quando retornar a Terra, não consegue se mover e é preciso tomar muito cuidado ao carregá-lo, pois pode-se causar fraturas em seus ossos fragilizados. Uma forma de se simular um ambiente com gravidade é utilizar a rotação.
a) Para uma nave com um diâmetro de 10 m , qual seria a velocidade angular
para se produzir uma aceleração que simule a intensidade da aceleração
da gravidade se ela girasse em torno do seu centro.
b) Essa velocidade angular corresponde a qual frequência
de rotação em rpm?
a) Para uma nave com um diâmetro de 10 m , qual seria a velocidade angular
b) Essa velocidade angular corresponde a qual frequência
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Diâmetro da nave:
. - A nave gira em torno do seu centro (movimento circular uniforme).
- Queremos que a aceleração centrípeta na borda da nave simule a gravidade da Terra:
. - Pergunta (a): qual deve ser a velocidade angular
(em ) para que a aceleração na borda seja ? - Pergunta (b): essa velocidade angular corresponde a qual frequência de rotação
expressa em rpm (rotações por minuto)?
Observação: a partir do diâmetro podemos obter o raio útil para os cálculos.
Passo 2
Calcular o raio da nave (é informação direta obtida do diâmetro). O raio
é metade do diâmetro, então
Aqui
é a distância do centro até a borda onde queremos que a aceleração seja
.
Passo 3
Apresentar e explicar a fórmula que relaciona aceleração centrípeta, velocidade angular e raio.
A aceleração centrípeta (ou radial) para um objeto que descreve movimento circular uniforme é dada por
Explicando as variáveis:
-
é a aceleração centrípeta (em ), -
é a velocidade angular (em ), -
é o raio da trajetória (em ).
Essa fórmula vem da equivalência
e da relação
. Substituindo
obtemos
.
Passo 4
Resolver a equação para
quando queremos que
. Isolando
:
Aqui substituímos
. Portanto
Substituindo os valores numéricos (usei
e
):
Comentário: o resultado ficou exatamente
porque
e
.
Passo 5
Agora converter
em frequência de rotação
(em rotações por segundo e depois em rpm).
A relação entre velocidade angular e frequência em hertz (
rotações por segundo) é
Isolando
:
Substituindo
:
Agora convertemos hertz para rpm (rotações por minuto):
. Então
Explicando a conversão: primeiro obtivemos o número de voltas por segundo (
), depois multiplicamos por 60 para ter voltas por minuto.
Passo 6
Resumo rápido do raciocínio para lembrar na prova:
- Use
metade do diâmetro. - Para simular gravidade pise na fórmula
e iguale a . - Resolva
. - Converta
para frequência com e para rpm multiplicando por 60.
Força! Você já tem o passo a passo que dá pra aplicar direto na prova.
Resposta
(a)
(b)
(b)