Numa viajem espacial, um dos problemas é a ausência da gravidade. A longa permanência em um ambiente sem gravidade causa a descalcificação dos ossos, degeneração do tecido muscular e vômitos constantes. Assim o astronauta quando retornar a Terra, não consegue se mover e é preciso tomar muito cuidado ao carregá-lo, pois pode-se causar fraturas em seus ossos fragilizados. Uma forma de se simular um ambiente com gravidade é utilizar a rotação.
a) Para uma nave com um diâmetro de 10 m , qual seria a velocidade angular \omega para se produzir uma aceleração que simule a intensidade da aceleração g=9,8 m / s da gravidade se ela girasse em torno do seu centro.
b) Essa velocidade angular corresponde a qual frequência f de rotação em rpm?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Diâmetro da nave: \,10\\ \mathrm{m}.
  • A nave gira em torno do seu centro (movimento circular uniforme).
  • Queremos que a aceleração centrípeta na borda da nave simule a gravidade da Terra: \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Pergunta (a): qual deve ser a velocidade angular \omega (em \mathrm{rad/s}) para que a aceleração na borda seja \,g?
  • Pergunta (b): essa velocidade angular corresponde a qual frequência de rotação f expressa em rpm (rotações por minuto)?
Observação: a partir do diâmetro podemos obter o raio útil para os cálculos.

Passo 2

Calcular o raio da nave (é informação direta obtida do diâmetro). O raio r é metade do diâmetro, então
r=\frac{\,10\\ \mathrm{m}\,}{2}=5\\ \mathrm{m}.
Aqui r é a distância do centro até a borda onde queremos que a aceleração seja g.

Passo 3

Apresentar e explicar a fórmula que relaciona aceleração centrípeta, velocidade angular e raio.
A aceleração centrípeta (ou radial) para um objeto que descreve movimento circular uniforme é dada por
a_c=\omega^2 r.
Explicando as variáveis:
  • \,a_c é a aceleração centrípeta (em \mathrm{m/s^2}),
  • \,\omega é a velocidade angular (em \mathrm{rad/s}),
  • \,r é o raio da trajetória (em \mathrm{m}).
Essa fórmula vem da equivalência a_c=v^2/r e da relação v=\omega r. Substituindo v obtemos a_c=(\omega r)^2/r=\omega^2 r.

Passo 4

Resolver a equação para \omega quando queremos que \,a_c=g. Isolando \omega:
\omega=\sqrt{\frac{a_c}{r}}.
Aqui substituímos a_c=g. Portanto
\omega=\sqrt{\frac{g}{r}}.
Substituindo os valores numéricos (usei g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} e r=5\\ \mathrm{m}):
\omega=\sqrt{\frac{9,8}{5}}=\sqrt{1,96}=1,4\\ \mathrm{rad/s}.
Comentário: o resultado ficou exatamente 1,4\\ \mathrm{rad/s} porque 9,8/5=1,96 e \sqrt{1,96}=1,4.

Passo 5

Agora converter \omega em frequência de rotação f (em rotações por segundo e depois em rpm).
A relação entre velocidade angular e frequência em hertz ( \mathrm{Hz}= rotações por segundo) é
\omega=2\pi f.
Isolando f:
f=\frac{\omega}{2\pi}.
Substituindo \omega=1,4\\ \mathrm{rad/s}:
f=\frac{1,4}{2\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx 0,223\\ \mathrm{Hz}.
Agora convertemos hertz para rpm (rotações por minuto): 1\\ \mathrm{Hz}=60\\ \mathrm{rpm}. Então
f_{\mathrm{rpm}}=0,223\times 60\approx 13,37\\ \mathrm{rpm}.
Explicando a conversão: primeiro obtivemos o número de voltas por segundo ( \approx0,223), depois multiplicamos por 60 para ter voltas por minuto.

Passo 6

Resumo rápido do raciocínio para lembrar na prova:
  • Use r= metade do diâmetro.
  • Para simular gravidade pise na fórmula a_c=\omega^2 r e iguale a_c a g.
  • Resolva \omega=\sqrt{g/r}.
  • Converta \omega para frequência com f=\omega/(2\pi) e para rpm multiplicando por 60.
Força! Você já tem o passo a passo que dá pra aplicar direto na prova.

Resposta

(a) \omega=1,4\\ \mathrm{rad/s}
(b) f\approx 13,37\\ \mathrm{rpm}

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