Uma partícula está sob a ação de dois torques:
e
a) Determine o torque resultante
b) Essa partícula está na posição
. Determine a força
que realiza esse torque.
R.
a) Determine o torque resultante
b) Essa partícula está na posição
R.
Passo 1
O enunciado dá duas informações e faz duas perguntas claras.
Informações dadas:
- Torque
. - Torque
. - Posição da força
.
Perguntas:
- Determine o torque resultante (soma dos torques).
- Determine a força
aplicada em que produz esse torque resultante.
Passo 2
Soma dos torques (vetorial): para somar vetores escrevemos componente a componente. Então
Substituindo as componentes dadas:
Então o torque resultante é
.
Passo 3
Agora vamos usar a definição de torque produzido por uma força aplicada num ponto: a relação é
onde
-
é o vetor posição do ponto de aplicação da força (a partir do ponto de referência), -
é a força, -
é o produto vetorial (ou produto externo), que produz um vetor perpendicular aos dois.
Propriedades úteis do produto vetorial em base cartesiana:
e trocando a ordem inverte o sinal, por exemplo
.
No nosso caso
, então
Portanto podemos escrever
Passo 4
Escrevemos
em componentes desconhecidas:
Calculamos
usando as regras das base:
Usando
,
e
, obtemos
Multiplicando por
, já que
, temos
Aqui eu reorganizei para combinar com as componentes em
e
.
Passo 5
Agora igualamos componente a componente. Para a componente em
:
Para a componente em
:
A componente
não aparece nas equações porque qualquer componente da força paralela a
(isto é, na direção de
) não produz torque (pois
). Portanto
é livre — existe uma família de forças que produzem o mesmo torque, diferindo por um componente paralelo a
. Para obter a resposta dada pelo enunciado escolhemos a opção simples
Passo 6
Com
temos a força
Como checagem rápida, calcule
:
multiplicando por
dá
, que é exatamente
. Perfeito — a conta confirma a solução.