Uma partícula está sob a ação de dois torques: \vec{\tau}_{1}=3 \hat{x}+2 \hat{y} e \vec{\tau}_{2}=-5 \hat{x}
a) Determine o torque resultante
b) Essa partícula está na posição \vec{r}=7 \hat{z}. Determine a força \vec{F} que realiza esse torque.
R. \vec{F}=\frac{2}{7} \hat{x}+\frac{2}{7} \hat{y}

Passo 1

O enunciado dá duas informações e faz duas perguntas claras.
Informações dadas:
  • Torque \vec{\tau}_{1} = 3\hat{x} + 2\hat{y}.
  • Torque \vec{\tau}_{2} = -5\hat{x}.
  • Posição da força \vec{r} = 7\hat{z}.
Perguntas:
  1. Determine o torque resultante (soma dos torques).
  2. Determine a força \vec{F} aplicada em \vec{r}=7\hat{z} que produz esse torque resultante.

Passo 2

Soma dos torques (vetorial): para somar vetores escrevemos componente a componente. Então
\vec{\tau}_{\text{res}} = \vec{\tau}_{1} + \vec{\tau}_{2}.
Substituindo as componentes dadas:
\vec{\tau}_{\text{res}} = (3\hat{x}+2\hat{y}) + (-5\hat{x}) = (3-5)\hat{x} + 2\hat{y} = -2\hat{x} + 2\hat{y}.
Então o torque resultante é \vec{\tau}_{\text{res}} = -2\hat{x} + 2\hat{y}.

Passo 3

Agora vamos usar a definição de torque produzido por uma força aplicada num ponto: a relação é
\vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F},
onde
  • \vec{r} é o vetor posição do ponto de aplicação da força (a partir do ponto de referência),
  • \vec{F} é a força,
  • \times é o produto vetorial (ou produto externo), que produz um vetor perpendicular aos dois.
Propriedades úteis do produto vetorial em base cartesiana:
\hat{x}\times\hat{y}=\hat{z},\qquad \hat{y}\times\hat{z}=\hat{x},\qquad \hat{z}\times\hat{x}=\hat{y},
e trocando a ordem inverte o sinal, por exemplo \hat{y}\times\hat{x}=-\hat{z}.
No nosso caso \vec{r}=7\hat{z}, então
\vec{\tau}_{\text{res}} = \vec{r}\times\vec{F} = 7\hat{z}\times\vec{F} = 7(\hat{z}\times\vec{F}).
Portanto podemos escrever
\hat{z}\times\vec{F} = \frac{1}{7}\vec{\tau}_{\text{res}}.

Passo 4

Escrevemos \vec{F} em componentes desconhecidas:
\vec{F} = F_x\hat{x} + F_y\hat{y} + F_z\hat{z}.
Calculamos \hat{z}\times\vec{F} usando as regras das base:
\hat{z}\times\vec{F} = \hat{z}\times(F_x\hat{x}) + \hat{z}\times(F_y\hat{y}) + \hat{z}\times(F_z\hat{z}).
Usando \hat{z}\times\hat{x}=\hat{y}, \hat{z}\times\hat{y}=-\hat{x} e \hat{z}\times\hat{z}=\vec{0}, obtemos
\hat{z}\times\vec{F} = F_x\hat{y} - F_y\hat{x}.
Multiplicando por 7, já que \vec{\tau}_{\text{res}} = 7(\hat{z}\times\vec{F}), temos
7(-F_y\hat{x} + F_x\hat{y}) = -2\hat{x} + 2\hat{y}.
Aqui eu reorganizei para combinar com as componentes em \hat{x} e \hat{y}.

Passo 5

Agora igualamos componente a componente. Para a componente em \hat{x}:
7(-F_y) = -2 \quad\Rightarrow\quad -7F_y = -2 \quad\Rightarrow\quad F_y = \frac{2}{7}.
Para a componente em \hat{y}:
7F_x = 2 \quad\Rightarrow\quad F_x = \frac{2}{7}.
A componente F_z não aparece nas equações porque qualquer componente da força paralela a \hat{z} (isto é, na direção de \vec{r}) não produz torque (pois \hat{z}\times\hat{z}=\vec{0}). Portanto F_z é livre — existe uma família de forças que produzem o mesmo torque, diferindo por um componente paralelo a \vec{r}. Para obter a resposta dada pelo enunciado escolhemos a opção simples
F_z = 0.

Passo 6

Com F_x=\dfrac{2}{7},\;F_y=\dfrac{2}{7},\;F_z=0 temos a força
\vec{F} = \frac{2}{7}\hat{x} + \frac{2}{7}\hat{y}.
Como checagem rápida, calcule 7(\hat{z}\times\vec{F}):
\hat{z}\times\vec{F} = \hat{z}\times\Big(\frac{2}{7}\hat{x}+\frac{2}{7}\hat{y}\Big) = \frac{2}{7}\hat{y} - \frac{2}{7}\hat{x},
multiplicando por 7 -2\hat{x}+2\hat{y}, que é exatamente \vec{\tau}_{\text{res}}. Perfeito — a conta confirma a solução.

Resposta

\vec{\tau}_{\text{res}} = -2\hat{x} + 2\hat{y}\n
\vec{F} = \dfrac{2}{7}\hat{x} + \dfrac{2}{7}\hat{y}

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