Usando as relações entre as variáveis angulares (\theta, \omega, \alpha) e as variáreis lineares (s, v, a) transforme a equação horária do MRUV:
s=s_{0}+v t+\frac{a}{2} t^{2}
na equação do MCUV:
\theta=\theta_{0}+\omega t+\frac{\alpha}{2} t^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação horária do movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV)
s = s_{0} + v t + \frac{a}{2} t^{2}
e pede para transformá‑la, usando as relações entre as variáveis lineares (s,v,a) e as angulares (\theta,\omega,\alpha), na equação horária do movimento circular uniformemente variado (MCUV)
\theta = \theta_{0} + \omega t + \frac{\alpha}{2} t^{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação inicial: \;s = s_{0} + v t + \dfrac{a}{2} t^{2}.
  • O objetivo: obter \;\theta = \theta_{0} + \omega t + \dfrac{\alpha}{2} t^{2}.
  • Devemos usar as relações entre as grandezas lineares e angulares (essas relações serão usadas na resolução).

Passo 2

Primeiro, vamos entender e escrever as relações fundamentais entre as grandezas lineares e angulares. Suponha um ponto que se move numa circunferência de raio r.
  • O deslocamento angular \theta (em radianos) e o deslocamento linear ao longo da circunferência s estão ligados por
s = r\,\theta.
Explicação: essa fórmula diz que o comprimento do arco percorrido é o raio vezes o ângulo em radianos. É fundamental que o ângulo esteja em radianos para essa relação valer.
Agora derivamos em relação ao tempo t para relacionar velocidades:
v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(r\,\theta) = r\,\frac{d\theta}{dt}.
Definindo \omega = \dfrac{d\theta}{dt} (velocidade angular), obtemos
v = r\,\omega.
Derivando novamente para obter acelerações:
a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(r\,\omega) = r\,\frac{d\omega}{dt}.
Definindo \alpha = \dfrac{d\omega}{dt} (aceleração angular), obtemos
a = r\,\alpha.
Resumo das relações que vamos usar:
s = r\,\theta,\qquad s_{0}=r\,\theta_{0},\qquad v=r\,\omega,\qquad a=r\,\alpha.

Passo 3

Agora substituímos essas relações na equação do MRUV. Começamos com
s = s_{0} + v t + \frac{a}{2} t^{2}.
Substituindo s=r\theta, s_{0}=r\theta_{0}, v=r\omega e a=r\alpha, obtemos
r\,\theta = r\,\theta_{0} + (r\,\omega)\,t + \frac{r\,\alpha}{2}\,t^{2}.

Passo 4

Fatorando r no lado direito:
r\,\theta = r\!\left(\theta_{0} + \omega t + \frac{\alpha}{2} t^{2}\right).
Como r\neq 0 (raio positivo), podemos dividir ambos os lados por r e cancelar:
\theta = \theta_{0} + \omega t + \frac{\alpha}{2} t^{2}.
Observações importantes: a relação s=r\theta exige que \theta esteja em radianos; por isso a transformação é válida somente com ângulos em radiano. Note também que o raio r cancela, por isso a forma horária em termos angulares não depende do valor de r.

Resposta

\theta=\theta_{0}+\omega t+\frac{\alpha}{2} t^{2}

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