Um corpo de massa m está preso à extremidade de uma mola de constante k. A outra extremidade da mola está presa ao teto. Uma pessoa sustenta o corpo sem provocar distensão na mola; em um dado instante, o corpo é largado sem velocidade inicial. Determine: (a) a distância \underline{y} máxima descida pelo corpo desde a posição de equilíbrio inicial da mola; (b) a amplitude do movimento harmônico simples estabelecido.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa m preso a uma mola de constante elástica k. Inicialmente a mola está em seu comprimento natural (sem distensão) e o bloco é solto com velocidade nula. Vamos tomar a origem y=0 na posição inicial (comprimento natural da mola) e eixo y para baixo. Precisamos achar:
(a) a maior descida y_{\max} alcançada;
(b) a amplitude A do movimento em torno da posição de equilíbrio do sistema bloco–mola.

Passo 2

Para y=0 e v=0 a energia total inicial é
E_i = 0 \quad(\text{escolhendo energia gravitacional zero em }y=0).
No ponto de retorno y=y_{\max} também temos v=0, mas há energia elástica e gravitacional:
E_f = \frac12\,k\,y_{\max}^2 \;-\; m g\,y_{\max}.
Pela conservação de energia E_i=E_f,
\frac12\,k\,y_{\max}^2 \;-\; m g\,y_{\max}=0 \quad\Longrightarrow\quad y_{\max}\bigl(\tfrac12\,k\,y_{\max}-m g\bigr)=0
Desprezando a solução trivial y_{\max}=0, vem
y_{\max} = \frac{2\,m g}{k}.

Passo 3

A posição de equilíbrio dinâmico da mola se dá onde a força elástica iguala o peso:
k\,y_{\rm eq} = m g \quad\Longrightarrow\quad y_{\rm eq} = \frac{m g}{k}.

Passo 4

A amplitude A do movimento em torno de y_{\rm eq} é a diferença entre o ponto de virada e o equilíbrio:
A = y_{\max}-y_{\rm eq} = \frac{2\,m g}{k} - \frac{m g}{k} = \frac{m g}{k}.

Resposta

(a) \displaystyle y_{\max} = \frac{2\,m g}{k}.
(b) \displaystyle A = \frac{m g}{k}.

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