A energia total de um oscilador harmônico constituído por um sistema massa-mola oscilando em um plano horizontal sem atrito é dada por E=2 \mathrm{~J}. A constante da mola é igual a 40 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O sistema oscila com uma freqüência igual a 5 Hz . Calcule: (a) a massa do corpo: (b) a amplitude do movimento.

Passo 1

O enunciado dá a energia total E=2\;\mathrm{J}, a constante da mola k=40\;\mathrm{N/m} e a frequência de oscilação f=5\;\mathrm{Hz}. Para encontrar a massa vamos usar a relação entre frequência angular \omega e massa, \omega=\sqrt{k/m}, e para a amplitude vamos usar a expressão da energia no oscilador harmônico, E=\tfrac12\,kA^2.

Passo 2

Calcular a massa a partir de \omega=2\pi f e \omega^2=k/m. Primeiro:
\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 5 = 10\pi.
Como \omega^2 = k/m, temos
m = \frac{k}{\omega^2} = \frac{40}{(10\pi)^2} = \frac{40}{100\pi^2} = \frac{0,4}{\pi^2}\\ \mathrm{kg} \approx 0,0405\;\mathrm{kg}.

Passo 3

Calcular a amplitude usando E=\tfrac12\,kA^2, ou seja,
A = \sqrt{\frac{2E}{k}} = \sqrt{\frac{2\cdot 2}{40}} = \sqrt{\frac{4}{40}} = \sqrt{0,1}\;\mathrm{m} \approx 0,316\;\mathrm{m}.

Resposta

(a) m = \dfrac{0,4}{\pi^2}\;\mathrm{kg}\approx 0,0405\;\mathrm{kg}.
(b) A = \sqrt{0,1}\;\mathrm{m}\approx 0,316\;\mathrm{m}.

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