Um corpo de massa M preso a um gancho de comprimento L e massa desprezível repousa em uma superfície sem atrito. Um outro corpo, também de massa M, move-se com uma velocidade de módulo V em direção ao gancho, onde fica preso após a colisão. Qual será o movimento do sistema? A energia se conserva? Utilize a conservação do momento linear barrangular e energia e o referencial do centro de massa CM para analisar o problema
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de física onde dois corpos de mesma massa, $ M $, estão interagindo. Um deles está pendurado em um gancho com comprimento $ L $ e o gancho é sem massa (desprezível). Esse corpo está parado sobre uma superfície sem atrito. O outro corpo, também com massa $ M $, está se movendo com velocidade $ V $ em direção ao gancho e se fixa nele após a colisão. Vamos usar os conceitos de conservação do momento linear, momento angular e energia, além de analisar tudo a partir do referencial do centro de massa (CM).
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que acontece na colisão. Como não tem atrito, a única força que atua durante a colisão é a força entre os dois corpos. Vamos usar a conservação do momento linear para encontrar a velocidade do sistema após a colisão.
Passo 3
A conservação do momento linear diz que o momento antes da colisão é igual ao momento depois da colisão, desde que não haja forças externas. O momento linear é dado por $ p = m \cdot v $.
Antes da colisão:
- Corpo em movimento: $ p_1 = M \cdot V $
- Corpo parado: $ p_2 = 0 $
Total: $ p_{total} = M \cdot V $
Depois da colisão, os dois corpos se movem juntos com velocidade $ v $:
$ p_{total} = (M + M) \cdot v = 2M \cdot v $
$ p_{total} = (M + M) \cdot v = 2M \cdot v $
Igualando os momentos:
$ M \cdot V = 2M \cdot v $
$ M \cdot V = 2M \cdot v $
Passo 4
Resolvendo para $ v $:
$ v = \frac{M \cdot V}{2M} = \frac{V}{2} $
$ v = \frac{M \cdot V}{2M} = \frac{V}{2} $
Então, a velocidade do sistema após a colisão é $ \frac{V}{2} $.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a energia se conserva. A energia cinética inicial antes da colisão é apenas do corpo em movimento:
$ KE_{inicial} = \frac{1}{2} M V^2 $
$ KE_{inicial} = \frac{1}{2} M V^2 $
Após a colisão, os dois corpos se movem juntos com velocidade $ \frac{V}{2} $:
$ KE_{final} = \frac{1}{2} (2M) \left( \frac{V}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 2M \cdot \frac{V^2}{4} = \frac{M V^2}{4} $
$ KE_{final} = \frac{1}{2} (2M) \left( \frac{V}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 2M \cdot \frac{V^2}{4} = \frac{M V^2}{4} $
Comparando:
$ \frac{M V^2}{4} < \frac{1}{2} M V^2 $
$ \frac{M V^2}{4} < \frac{1}{2} M V^2 $
Portanto, parte da energia cinética foi perdida na colisão, indicando que a energia não foi conservada.
Resposta
Após a colisão, o sistema se move com velocidade $ \frac{V}{2} $ e a energia não se conserva.