No modelo de um sólido cristalino proposto por Einstein, a energia interna de um mol do sólido é dada por
Em que
é a temperatura de Einstein do sólido e
- ía temperatura um Kelvin.
a) Estimar a energia interna molar do diamante (
a 300 K & a 600 K e o aumento da energia interna no aquecimento do sólido entre essas temperaturas.
b) Mostrar que o Calor específico molar a volume constante
dado por
c) Com o resultado de item (b), mostre que a Lei de Dulong-Petti,
vale para temperaturas
mais elevadas do que
.
a) Estimar a energia interna molar do diamante (
b) Mostrar que o Calor específico molar a volume constante
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre o modelo de Einstein para sólidos cristalinos, focando na energia interna e no calor específico molar. Precisamos calcular a energia interna do diamante em duas temperaturas diferentes, derivar uma fórmula para o calor específico e mostrar como a Lei de Dulong-Petit se aplica em altas temperaturas. Para isso, vamos usar a fórmula que você forneceu e entender alguns conceitos básicos de física dos sólidos e termodinâmica.
Passo 2
Vamos começar pela parte a): estimar a energia interna molar do diamante a 300 K e 600 K, e descobrir quanto essa energia aumenta entre essas temperaturas.
A fórmula dada para a energia interna é:
Onde:
-
é o número de Avogadro ( ), -
é a constante de Boltzmann ( ), -
é a temperatura de Einstein (1060 K), -
é a temperatura onde queremos calcular a energia interna (300 K e 600 K).
Vamos calcular
para ambas as temperaturas.
Passo 3
Agora, na parte b), precisamos mostrar que o calor específico molar a volume constante
é dado por:
Para isso, vamos derivar
a partir da expressão da energia interna
. Lembre-se que o calor específico é a derivada da energia interna em relação à temperatura.
Passo 4
Finalmente, na parte c), vamos usar o resultado da parte b) para mostrar que a Lei de Dulong-Petit
vale para temperaturas
maiores do que
. Isso envolve analisar o comportamento da expressão de
quando
sobe acima de
.
Resposta
a) Energia interna molar do diamante:
Primeiro, vamos calcular
para
K:
Calculando o denominador:
Então:
Para
K:
Calculando o denominador:
Então:
Aumento da energia interna:
b) Derivação do calor específico molar a volume constante
:
Começamos com a expressão da energia interna:
O calor específico a volume constante é a derivada de
em relação a
:
Vamos derivar:
Observando que
, temos:
c) Lei de Dulong-Petit para
:
Para
muito maior que
, ou seja,
, a razão
se torna pequena. Nesse caso, podemos aproximar:
Substituindo na expressão de
:
Portanto, para temperaturas
maiores que
, o calor específico molar a volume constante aproxima-se de:
Isso confirma a Lei de Dulong-Petit, que afirma que o calor específico molar a volume constante de sólidos cristalinos é aproximadamente
.