No modelo de um sólido cristalino proposto por Einstein, a energia interna de um mol do sólido é dada por
U=3 NA KB TErho^TE / I1-1
Em que TE é a temperatura de Einstein do sólido e
  • ía temperatura um Kelvin.
    a) Estimar a energia interna molar do diamante ( TE=1060 K) a 300 K & a 600 K e o aumento da energia interna no aquecimento do sólido entre essas temperaturas.
    b) Mostrar que o Calor específico molar a volume constante i dado por
CV=3 R(TET)^2 cdot e^TE / T(e^TE / T-1)^2
c) Com o resultado de item (b), mostre que a Lei de Dulong-Petti, Cv approx 3 R vale para temperaturas T mais elevadas do que TE.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre o modelo de Einstein para sólidos cristalinos, focando na energia interna e no calor específico molar. Precisamos calcular a energia interna do diamante em duas temperaturas diferentes, derivar uma fórmula para o calor específico e mostrar como a Lei de Dulong-Petit se aplica em altas temperaturas. Para isso, vamos usar a fórmula que você forneceu e entender alguns conceitos básicos de física dos sólidos e termodinâmica.

Passo 2

Vamos começar pela parte a): estimar a energia interna molar do diamante a 300 K e 600 K, e descobrir quanto essa energia aumenta entre essas temperaturas.
A fórmula dada para a energia interna é:
Onde:
  • U = 3 NA KB TEe^TE / T - 1 é o número de Avogadro ( ),
  • é a constante de Boltzmann ( ),
  • é a temperatura de Einstein (1060 K),
  • é a temperatura onde queremos calcular a energia interna (300 K e 600 K).
Vamos calcular para ambas as temperaturas.

Passo 3

Agora, na parte b), precisamos mostrar que o calor específico molar a volume constante CV = 3 R (TET)^2 cdot e^TE / T(e^TE / T -1)^2 é dado por:
Para isso, vamos derivar a partir da expressão da energia interna . Lembre-se que o calor específico é a derivada da energia interna em relação à temperatura.

Passo 4

Finalmente, na parte c), vamos usar o resultado da parte b) para mostrar que a Lei de Dulong-Petit vale para temperaturas maiores do que . Isso envolve analisar o comportamento da expressão de quando sobe acima de .

Resposta

a) Energia interna molar do diamante:
Primeiro, vamos calcular U300 = 3 times 6,022 times 10^23 times 1,381 times 10^-23 times 1060e^1060 / 300 - 1 para e^1060 / 300 approx e^3,533 approx 34,25 K:
U300 = 3 times 6,022 times 10^23 times 1,381 times 10^-23 times 106034,25 - 1 approx 3 times 6,022 times 1,381 times 106033,25 times 10^0 , J/mol
Calculando o denominador:
U300 approx 3 times 6,022 times 1,381 times 106033,25 approx 3 times 6,022 times 1,381 times 106033,25 approx 761 , J/mol
Então:
U600 = 3 times 6,022 times 10^23 times 1,381 times 10^-23 times 1060e^1060 / 600 - 1
e^1060 / 600 approx e^1,767 approx 5,87
Para U600 = 3 times 6,022 times 1,381 times 10605,87 - 1 approx 3 times 6,022 times 1,381 times 10604,87 approx 5.432 , J/mol K:
De
Calculando o denominador:
U = 3 NA KB TEe^TE / T - 1
Então:
CV = (partial Upartial T)V
Aumento da energia interna:
CV = 3 NA KB TE cdot e^TE / T cdot TET^2(e^TE / T - 1)^2 = 3 NA KB (TET)^2 cdot e^TE / T(e^TE / T - 1)^2
b) Derivação do calor específico molar a volume constante CV = 3 R (TET)^2 cdot e^TE / T(e^TE / T - 1)^2 :
Começamos com a expressão da energia interna:
O calor específico a volume constante é a derivada de e^TE / T approx 1 + TET em relação a CV approx 3 R (TET)^2 cdot 1 + TET(TET)^2 = 3 R :
CV approx 3 R
Vamos derivar:
Observando que , temos:
c) Lei de Dulong-Petit para :
Para muito maior que , ou seja, , a razão se torna pequena. Nesse caso, podemos aproximar:
Substituindo na expressão de :
Portanto, para temperaturas maiores que , o calor específico molar a volume constante aproxima-se de:
Isso confirma a Lei de Dulong-Petit, que afirma que o calor específico molar a volume constante de sólidos cristalinos é aproximadamente .

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