Um corpo de massa m1 e velocidade inicial u1, movendo-se ao longo da direção x positiva, sofre uma colisão completamente inelástica com um outro corpo de massa m2 que está se movendo inicialmente ao longo da direção y positiva com velocidade u2. Ache (a) a velocidade comum v dos dois corpos depois do impacto e (b) o ângulo entre o vetor velocidade final e a direção x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma colisão completamente inelástica entre dois corpos. Temos um corpo com massa $ m_1 $ se movendo na direção positiva do eixo $ x $ com velocidade inicial $ u_1 $, e outro corpo com massa $ m_2 $ se movendo na direção positiva do eixo $ y $ com velocidade inicial $ u_2 $. Queremos descobrir:
(a) A velocidade comum $ v $ dos dois corpos após a colisão.
(b) O ângulo entre essa velocidade final e a direção do eixo $ x $.
Pra resolver isso, vamos precisar entender sobre conservação do momento linear e como decompôr vetores em suas direções $ x $ e $ y $.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que em uma colisão completamente inelástica, os dois corpos ficam juntos após o impacto, ou seja, eles têm a mesma velocidade final $ \vec{v} $. A lei da conservação do momento linear nos diz que o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois da colisão, desde que não haja forças externas atuando.

Passo 3

Vamos olhar para as componentes do momento nas direções $ x $ e $ y $ separadamente.
  • Direção $ x $:
    Apenas o corpo com massa $ m_1 $ está se movendo na direção $ x $. Então, o momento total inicial nessa direção é:
    x
    Após a colisão, os dois corpos se movem com a mesma velocidade $ \vec{v} $, cuja componente na direção $ x $ é $ v_x $. Assim, o momento final na direção $ x $ é:
    y
    Pela conservação do momento:
    x
    Podemos resolver para $ v_x $:
    m1
  • Direção $ y $:
    Apenas o corpo com massa $ m_2 $ está se movendo na direção $ y $. Então, o momento total inicial nessa direção é:
    x
    Após a colisão, ambos os corpos têm a componente de velocidade na direção $ y $ igual a $ v_y $. Assim, o momento final na direção $ y $ é:
    pxinicial = m1 cdot u1
    Pela conservação do momento:
    v
    Podemos resolver para $ v_y $:
    x

Passo 4

Agora que temos as componentes $ v_x $ e $ v_y $ da velocidade final, podemos encontrar a velocidade comum $ v $ dos dois corpos após a colisão usando o teorema de Pitágoras:
vx
Simplificando:
vy

Passo 5

Para achar o ângulo $ \theta $ entre a velocidade final $ \vec{v} $ e a direção $ x $, usamos a função tangente, que relaciona as componentes $ v_y $ e $ v_x $:
theta
Substituindo $ v_x $ e $ v_y $:
v
Então, o ângulo $ \theta $ é:
x

Resposta

(a) A velocidade comum dos dois corpos após o impacto é:
v = raiz(m1 cdot u1)^2 + (m2 cdot u2)^2m1 + m2
(b) O ângulo entre a velocidade final e a direção $ x $ é:
x

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