A superfície
separa dois dielétricos perfeitos. Para
, seja
, enquanto
onde
. Se E1 = 80ax - 60ay - 30az V/m, calcule: D2;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas regiões diferentes separadas pela superfície $ x = 0 $, cada uma com um material dielétrico diferente. A gente tem as constantes dielétricas relativas $ r_1 = 3 $ para $ x > 0 $ e $ r_2 = 5 $ para $ x < 0 $. O campo elétrico na primeira região é dado por $ \mathbf{E}_1 = 80\mathbf{a}_x - 60\mathbf{a}_y - 30\mathbf{a}_z $ V/m. A nossa missão é calcular o campo de deslocamento elétrico $ \mathbf{D}_2 $ na segunda região. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática em dielétricos e as relações entre os campos elétricos e de deslocamento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo de deslocamento elétrico $ \mathbf{D} $ está relacionado ao campo elétrico $ \mathbf{E} $ pela fórmula:
Onde $ \varepsilon $ é a permissividade do material, que depende da constante dielétrica relativa $ r $ e da permissividade do vácuo $ \varepsilon_0 $ ($ \varepsilon_0 \approx 8,85 \times 10^{-12} $ F/m). Então, para cada região:
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo de deslocamento na primeira região ($ \mathbf{D}_1 $) usando a relação:
Substituindo os valores:
Passo 4
Para encontrar $ \mathbf{D}_2 $ na segunda região, precisamos considerar as condições de contorno na interface $ x = 0 $. A componente perpendicular do campo de deslocamento elétrico deve ser contínua atravessando a interface. Isso significa que a componente $ D_x $ em $ x = 0 $ na primeira região é igual à componente $ D_x $ na segunda região:
Como $ D_{1x} = \varepsilon_1 E_{1x} $, temos:
Passo 5
Isolando $ E_{2x} $:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, para as componentes paralelas ($ y $ e $ z $), como não há cargas livres na interface, os componentes do campo elétrico são contínuos:
Ou seja:
Passo 7
Finalmente, calculamos $ \mathbf{D}_2 $ usando a relação $ \mathbf{D}_2 = \varepsilon_2 \mathbf{E}_2 $:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
O campo de deslocamento elétrico na segunda região é: