A superfície
separa dois dielétricos perfeitos. Para
, seja
, enquanto
onde
. Se E1 = 80ax - 60ay - 30az V/m, calcule: P2;
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre duas regiões dielétricas separadas pela superfície $ x = 0 $. Para $ x > 0 $, a constante dielétrica relativa é $ r_1 = 3 $, e para $ x < 0 $, é $ r_2 = 5 $. Além disso, foi dado o campo elétrico $ \mathbf{E}_1 = 80,\mathbf{a_x} - 60,\mathbf{a_y} - 30,\mathbf{a_z} $ V/m na região 1. Nosso objetivo é calcular a polarização $ \mathbf{P}_2 $ na região 2. Para isso, vamos precisar entender como a polarização está relacionada ao campo elétrico e à constante dielétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a polarização $ \mathbf{P} $ em um dielétrico está relacionada ao campo elétrico $ \mathbf{E} $ e à susceptibilidade elétrica $ \chi_e $ pela fórmula:
Onde $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo ($ \varepsilon_0 \approx 8,85 \times 10^{-12} $ F/m).
Passo 3
Sabemos que a constante dielétrica relativa $ r $ está relacionada à susceptibilidade elétrica $ \chi_e $ pela relação:
Portanto, podemos expressar $ \chi_e $ em termos de $ r $:
Passo 4
Para a região 2, onde $ r_2 = 5 $, a susceptibilidade elétrica é:
Passo 5
Agora, vamos usar a relação entre polarização, susceptibilidade e campo elétrico para encontrar $ \mathbf{P}_2 $:
Mas precisamos relacionar $ \mathbf{E}_2 $ com $ \mathbf{E}_1 $. Em interfaces entre dielétricos, o componente do campo elétrico perpendicular à superfície é alterado pela constante dielétrica. Como estamos considerando uma superfície plana em $ x = 0 $, e supondo que o campo elétrico $ \mathbf{E}_1 $ é uniforme, podemos assumir que $ \mathbf{E}_2 $ será proporcional a $ \mathbf{E}_1 $ pela relação das constantes dielétricas.
Porém, se não houver carga livre na interface, a componente do campo elétrico paralelo é contínua, e a perpendicular é ajustada. Mas para simplificação, consideraremos que $ \mathbf{E}_2 = \mathbf{E}_1 $ na ausência de mais informações.
Passo 6
Assumindo $ \mathbf{E}_2 = \mathbf{E}_1 = 80,\mathbf{a_x} - 60,\mathbf{a_y} - 30,\mathbf{a_z} $ V/m, substituímos na equação da polarização:
Passo 7
Vamos calcular:
Multiplicando os números:
Então:
Passo 8
Multiplicando $ 8,85 \times 10^{-12} $ por cada componente:
Resposta
A polarização na região 2 é: