24)Para repor a bola em jogo rapidamente,um goleiro dá um chute e a bola sai de seus pés com uma velocidade inicial de 30
,cuja direção faz um ângulo de
com o chão.Ela percorre, horizontalmente, 100 m do campo e entra no gol adversário. Considere a aceleração da gravidade
e
.Determine:
a)Quanto tempo ela levou para entrar no gol,desde que perdeu o contato com o pé do goleiro?
b)O tempo que essa bola permanece no ar.
c)A altura máxima que essa bola atinge em relação ao solo.
a)Quanto tempo ela levou para entrar no gol,desde que perdeu o contato com o pé do goleiro?
b)O tempo que essa bola permanece no ar.
c)A altura máxima que essa bola atinge em relação ao solo.
Passo 1
O enunciado dá um chute com velocidade inicial
formando ângulo de
com o chão. A bola percorre horizontalmente
e entra no gol adversário. Dados fornecidos: aceleração da gravidade
,
e
. As perguntas são:
a) Quanto tempo ela levou para entrar no gol (desde que saiu do pé do goleiro)?
b) Qual o tempo que essa bola permanece no ar (tempo total de voo até tocar o solo, assumindo lançamento da mesma altura do solo)?
c) Qual a altura máxima que essa bola atinge em relação ao solo (assumindo lançamento do solo)?
a) Quanto tempo ela levou para entrar no gol (desde que saiu do pé do goleiro)?
b) Qual o tempo que essa bola permanece no ar (tempo total de voo até tocar o solo, assumindo lançamento da mesma altura do solo)?
c) Qual a altura máxima que essa bola atinge em relação ao solo (assumindo lançamento do solo)?
Passo 2
Primeiro vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Isso é padrão em lançamentos oblíquos: a componente horizontal é
e a componente vertical inicial é
. Aqui:
Usando os valores fornecidos:
Explicação curta:
é a velocidade constante no eixo horizontal (pois desprezamos resistência do ar), e
é a velocidade inicial no eixo vertical que será afetada pela gravidade.
Passo 3
(a) Tempo até entrar no gol (usando a componente horizontal). A posição horizontal é dada por
(movimento retilíneo uniforme). Logo
Substituindo
e
:
Fazendo a divisão:
Interpretação: esse é o tempo que a bola demora para percorrer
horizontalmente com velocidade horizontal
.
Passo 4
(b) Tempo total de voo (assumindo lançamento e aterrissagem na mesma altura do solo). Para o movimento vertical usamos a equação da posição
assumindo
. As raízes dessa equação são
e
que é a fórmula padrão para o tempo total de voo de um projétil lançado e aterrissando na mesma altura. Substituindo
e
:
Explicação didática: a fórmula vem do fato de que o tempo de subida até o ponto mais alto é
; o tempo total de ida e volta vertical é o dobro disso.
Observação importante (para não te deixar confuso): comparando (a) e (b) vemos que
. Isso significa que, se a bola tivesse sido chutada do solo (
), ela tocaria o solo após
e, portanto, não conseguiria percorrer
em vôo. Logo, para que a bola entre no gol aos
sem tocar o solo, o ponto de lançamento teria que ter uma altura inicial positiva. Se quiser saber essa altura inicial mínima para que a bola esteja ainda acima do solo aos
, calculamos abaixo (não pedido, só para reconciliar os números): impondo
e resolvendo para
obtemos
Ou seja, seria preciso uma altura de lançamento de cerca de
para que a bola ainda estivesse no ar ao alcançar
.
Passo 5
(c) Altura máxima em relação ao solo (assumindo lançamento no solo). Há duas formas equivalentes: (i) usar o tempo até o pico
e calcular
, ou (ii) usar a fórmula direta
que dá a elevação máxima acima da altura inicial. Vou usar a forma direta e depois mostrar o tempo do pico.
Temos também
, e substituindo em
dá o mesmo valor
. Interpretação: se o lançamento for do solo, o topo da trajetória fica a
acima do solo; se o lançamento tivesse altura inicial
, a altura máxima absoluta seria
.