20)Um projétil é lançado do solo com uma velocidade de 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s} numa direção que forma 37^{\circ} \mathrm{com} a vertical(despreze a resistência do ar).Quais as coordenadas da posição( \mathrm{x}, \mathrm{y} )do projétil ao fim de 3 s após o lançamento?(Dado: \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \cos 37^{\circ}=0,8 e sen 37^{\circ} =0,6
a) 195 \mathrm{~m} ; 195 \mathrm{~m}
b) 18 \mathrm{~m} ; 19,5 \mathrm{~m}
c) 180 \mathrm{~m} ; 240 \mathrm{~m}
d) 180 \mathrm{~m} ; 195 \mathrm{~m}
e)n.d.a

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas da posição (x,y) de um projétil lançado do solo, 3\\ \mathrm{s} após o lançamento. As informações dadas são:
\;v_0=100\\ \mathrm{m/s} (velocidade inicial), a direção forma \;37^\circ com a vertical, despreza-se resistência do ar, \;g=10\\ \mathrm{m/s^2}, e foram fornecidos \cos 37^\circ=0,8 e \sin 37^\circ=0,6.
O que se pede: encontrar (x(3),y(3)) — ou seja, as coordenadas após t=3\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Escolhemos um sistema de eixos: x horizontal (positiva para a frente) e y vertical (positiva para cima). A origem (0,0) é o ponto de lançamento (solo). Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Não faremos cálculo ainda, só organizando as informações.

Passo 3

Como o ângulo de \;37^\circ é dado em relação à vertical, a componente vertical da velocidade inicial é obtida com o cosseno e a componente horizontal com o seno. Ou seja:
v_{y0} = v_0\cos 37^\circ,\qquad v_{x} = v_0\sin 37^\circ.
Agora substituímos os valores fornecidos:
v_{y0} = 100\cdot 0{,}8 = 80\\ \mathrm{m/s},
v_{x} = 100\cdot 0{,}6 = 60\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Relembre as equações de movimento para cada componente (movimento uniformemente acelerado vertical, e movimento retilíneo uniforme horizontal):
x(t)=x_0 + v_x t,
y(t)=y_0 + v_{y0} t - \frac{1}{2} g t^2.
Aqui x_0=0 e y_0=0 (lançamento do solo). v_x é a componente horizontal (constante, pois não há aceleração horizontal) e v_{y0} é a componente vertical inicial. O termo -\tfrac{1}{2}gt^2 representa a queda causada pela aceleração da gravidade g direcionada para baixo.

Passo 5

Calculamos x(3) usando x(t)=v_x t:
x(3)=60\cdot 3 = 180\\ \mathrm{m}.
Passo a passo: 60\\ \mathrm{m/s} vezes 3\\ \mathrm{s} 180\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calculamos y(3) usando y(t)=v_{y0} t - \tfrac{1}{2} g t^2:
y(3)=80\cdot 3 - \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 3^2.
Agora as contas:
80\cdot 3 = 240,
\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 3^2 = 5\cdot 9 = 45.
Então
y(3)=240 - 45 = 195\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Conclusão: após 3\\ \mathrm{s} as coordenadas são (x,y)=(180\\ \mathrm{m},\\\ 195\\ \mathrm{m}). Conferindo uma ideia rápida: a velocidade vertical instantânea seria v_y(3)=v_{y0}-gt=80-10\cdot 3=50\\ \mathrm{m/s} (ainda positiva), então faz sentido o projétil estar acima do ponto de lançamento.

Resposta

d) 180\\ \mathrm{m} ; 195\\ \mathrm{m}

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