Um corpo de massa \mathrm{m}=2 \mathrm{~kg} está ligado a uma mola e executa um MHS com amplitude de 10 cm e com freqüência de 1,5 \mathrm{~Hz}. (a) Calcule a constante k da mola. (b) Determine a posição da partícula em função do tempo e da fase inicial. (c) Calcule a energia cinética média. R- (a) 177,5 \mathrm{~N} / \mathrm{m}; (b) 0,1 \cos (3 \pi \mathrm{t}+\delta); (c) \left\langle\mathrm{E}_{\mathrm{c}}\right\rangle=0,444 \mathrm{~J};

Passo 1

O enunciado dá um corpo de massa m=2\\ \mathrm{kg} preso a uma mola que executa MHS com amplitude A=10\\ \mathrm{cm}=0,1\\ \mathrm{m} e frequência f=1{,}5\\ \mathrm{Hz}. Precisamos de:
• (a) constante da mola k, usando k=m\omega^2 e \omega=2\pi f.
• (b) a posição x(t) em função do tempo e da fase inicial \delta, sabendo que em MHS x(t)=A\cos(\omega t+\delta).
• (c) a energia cinética média \langle E_c\rangle num ciclo, sabendo que a energia total é E=\tfrac12kA^2 e que \langle E_c\rangle=E/2.

Passo 2

Calculamos a frequência angular e k:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot1{,}5 = 3\pi\\ \mathrm{rad/s},
k = m\,\omega^2 = 2\,(3\pi)^2 = 2\cdot9\pi^2 = 18\pi^2\approx177{,}5\\ \mathrm{N/m}.

Passo 3

A solução geral do MHS é
x(t)=A\cos(\omega t+\delta),
substituindo A=0,1 e \omega=3\pi:
x(t)=0{,}1\cos\bigl(3\pi t+\delta\bigr).

Passo 4

A energia total do oscilador é
E=\tfrac12\,k\,A^2=\tfrac12\cdot177{,}5\cdot(0{,}1)^2=0{,}8875\\ \mathrm{J}.
Como em média metade dessa energia é cinética,
\langle E_c\rangle = \frac{E}{2}=0{,}8875/2=0{,}444\\ \mathrm{J}.

Resposta

(a) k=177{,}5\\ \mathrm{N/m}
(b) x(t)=0{,}1\cos\bigl(3\pi t+\delta\bigr)
(c) \langle E_c\rangle=0{,}444\\ \mathrm{J}

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