Resolva as equações.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- A incógnita é a função
. - A equação relaciona
, sua derivada e a variável .
O objetivo é encontrar a solução geral(ou uma forma implícita) contendo a constante de integração.
Passo 2
Vamos rearranjar a equação para isolar o termo com
. Da equação original segue
Isto é útil porque agora podemos tratar a equação como separável: colocar todos os termos com
de um lado (multiplicando por
) e todos os termos com
do outro lado. Separar variáveis significa escrever a equação na forma
, para então integrar ambos os lados.
Passo 3
Multiplicando por
obtemos
Agora integramos ambos os lados. Primeiro lembrete didático:
é uma integral simples de potência;
pede uma substituição porque
é a diferencial de
.
Calcule as integrais:
- Lado esquerdo:
pois a primitiva de
em relação a
é
.
- Lado direito: faça a substituição
. Então . Assim
Essas duas primitivas já nos dão uma relação entre
e
.
Passo 4
Igualando as primitivas (podemos juntar as constantes de integração em uma única constante), obtemos
onde
é uma constante arbitrária real (resultado da combinação de
e
). Multiplicando por
:
onde
é outra constante arbitrária real. Esta é a forma implícita da solução geral.
Passo 5
Para obter a forma explícita, isolamos
:
com
. Aqui o sinal
ou
será escolhido conforme uma condição inicial (se houver). Observações importantes:
- A expressão só é real para
tais que ; isso determina o domínio real da solução dependendo de . - Não existe solução constante
não-trivial: se a equação exigiria para todo , o que não vale para todos os . Portanto a solução geral está dada pela expressão acima com constante arbitrária.