Resolva as equações.
(b) 2 x \operatorname{sen}\left(x^{2}\right)-y \frac{d y}{d x}=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
2x\operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right)-y\frac{dy}{dx}=0.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • A equação relaciona y, sua derivada \dfrac{dy}{dx} e a variável x.
    O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (ou uma forma implícita) contendo a constante de integração.

Passo 2

Vamos rearranjar a equação para isolar o termo com \dfrac{dy}{dx}. Da equação original segue
y\frac{dy}{dx}=2x\operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right).
Isto é útil porque agora podemos tratar a equação como separável: colocar todos os termos com y de um lado (multiplicando por dx) e todos os termos com x do outro lado. Separar variáveis significa escrever a equação na forma g(y)\,dy = h(x)\,dx, para então integrar ambos os lados.

Passo 3

Multiplicando por dx obtemos
y\,dy = 2x\operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right)\,dx.
Agora integramos ambos os lados. Primeiro lembrete didático: \displaystyle \int y\,dy é uma integral simples de potência; \displaystyle \int 2x\operatorname{sen}(x^{2})\,dx pede uma substituição porque 2x\,dx é a diferencial de x^{2}.
Calcule as integrais:
  • Lado esquerdo:
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2} + C_{1},
pois a primitiva de y em relação a y é \dfrac{y^{2}}{2}.
  • Lado direito: faça a substituição \,u=x^{2}. Então \,du=2x\,dx. Assim
\int 2x\operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u)+C_{2} = -\cos\!\left(x^{2}\right)+C_{2}.
Essas duas primitivas já nos dão uma relação entre y e x.

Passo 4

Igualando as primitivas (podemos juntar as constantes de integração em uma única constante), obtemos
\frac{y^{2}}{2} = -\cos\!\left(x^{2}\right) + C,
onde C é uma constante arbitrária real (resultado da combinação de C_{1} e C_{2}). Multiplicando por 2:
y^{2} = C' - 2\cos\!\left(x^{2}\right),
onde C' = 2C é outra constante arbitrária real. Esta é a forma implícita da solução geral.

Passo 5

Para obter a forma explícita, isolamos y:
y = \pm\sqrt{\,C' - 2\cos\!\left(x^{2}\right)\,},
com C'\in\mathbb{R}. Aqui o sinal + ou - será escolhido conforme uma condição inicial (se houver). Observações importantes:
  • A expressão só é real para x tais que C' - 2\cos(x^{2})\ge 0; isso determina o domínio real da solução dependendo de C'.
  • Não existe solução constante y(x)\equiv y_{0} não-trivial: se y\equiv 0 a equação exigiria 2x\operatorname{sen}(x^{2})=0 para todo x, o que não vale para todos os x. Portanto a solução geral está dada pela expressão acima com constante arbitrária.

Resposta

y^{2}=C-2\cos\!\left(x^{2}\right)
y=\pm\sqrt{\,C-2\cos\!\left(x^{2}\right)\,},\;C\in\mathbb{R}

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