Encontre a soluçāo geral da seguinte equaçāo diferencial:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=4 t^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo polinomial:
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=4t^{2}.
O que é pedido: encontrar a solução geral y(t), isto é, a família de todas as soluções (contendo duas constantes arbitrárias, por ser segunda ordem). Informações relevantes:
  • É uma EDO linear de segunda ordem.
  • O lado direito é o polinômio \;4t^{2}\; (grau 2).
  • Não há condições iniciais dadas (logo queremos a solução geral, com constantes).

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e motivação): para equações lineares com coeficientes constantes e termo não-homogêneo que seja polinômio, exponencial, seno/cosseno ou combinação desses, o método mais prático é o método dos coeficientes indeterminados. A ideia é:
  • resolver primeiro a equação homogênea associada para obter y_h;
  • em seguida propor um ansatz (uma forma tentativa) simples para uma solução particular y_p compatível com o termo externo 4t^2 (aqui um polinômio de grau 2), ajustar coeficientes e somar y_h+y_p.
    Vou usar esse método porque aqui o termo não-homogêneo é um polinômio e a equação tem coeficientes constantes — o método é direto e rápido.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=0.
Formamos a equação característica associada substituindo y\mapsto e^{rt}:
r^{2}-2r+2=0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot2 = 4-8 = -4.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{2\pm\sqrt{-4}}{2} = 1\pm i.
Regra (aula rápida): se as raízes são r= \alpha\pm i\beta, a solução fundamental da homogênea é
y_h(t)=e^{\alpha t}\big(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\big).
Aplicando aqui, com \alpha=1 e \beta=1, obtemos
y_h(t)=e^{t}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias reais.

Passo 4

Escolher um ansatz para a solução particular y_p. Como o lado direito é um polinômio de grau 2, na ausência de ressonância devemos tentar um polinômio de mesmo grau:
y_p(t)=a t^{2}+b t + c,
onde a,b,c são coeficientes indeterminados a determinar. (Observação didática: se 0 fosse raiz da característica com multiplicidade m, teríamos que multiplicar o ansatz por t^{m}. Aqui 0 NÃO é raiz de r^{2}-2r+2, logo não há fator extra.)
Agora calculamos as derivadas de y_p:
y_p^{\prime}(t)=2a t + b, \qquad y_p^{\prime\prime}(t)=2a.

Passo 5

Substituir y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial e igualar coeficientes. Temos:
y_p^{\prime\prime}-2y_p^{\prime}+2y_p = (2a) - 2(2a t + b) + 2(a t^{2}+b t + c).
Expandindo e agrupando por potências de t:
= 2a -4a t -2b + 2a t^{2} + 2b t + 2c.
Reordeno por potências:
= \big(2a\big) t^{2} + \big(-4a + 2b\big) t + \big(2a - 2b + 2c\big).
Isso deve ser igual ao lado direito 4t^{2}, que é o polinômio com coeficientes:
  • coeficiente de t^{2}: 4,
  • coeficiente de t: 0,
  • termo constante: 0.
Portanto igualamos coeficientes termo a termo:
\begin{cases} 2a = 4,\\[4pt] -4a + 2b = 0,\\[4pt] 2a -2b + 2c = 0. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema para a,b,c. Da primeira equação:
2a=4 \implies a=2.
Substituindo a=2 na segunda:
-4(2) + 2b = 0 \implies -8 + 2b = 0 \implies 2b = 8 \implies b = 4.
Substituindo a=2 e b=4 na terceira:
2(2) - 2(4) + 2c = 0 \implies 4 - 8 + 2c = 0 \implies -4 + 2c = 0 \implies 2c = 4 \implies c = 2.
Assim obtemos
y_p(t)=2t^{2}+4t+2.

Passo 7

Construir a solução geral somando a homogênea e a particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t) = e^{t}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big) + 2t^{2}+4t+2,
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias. (Checagem rápida: já vimos que L[y_p]=4t^{2}, então a soma satisfaz a EDO.)

Resposta

y(t)=e^{t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big) + 2t^{2}+4t+2

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