Encontre a soluçāo geral da seguinte equaçāo diferencial:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=4 t^{2}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo polinomial:
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=4t^{2}.
O que é pedido: encontrar a solução geral y(t), isto é, a família de todas as soluções (contendo duas constantes arbitrárias, por ser segunda ordem). Informações relevantes:
É uma EDO linear de segunda ordem.
O lado direito é o polinômio \;4t^{2}\; (grau 2).
Não há condições iniciais dadas (logo queremos a solução geral, com constantes).
Passo 2
Escolha do método (explicação didática e motivação): para equações lineares com coeficientes constantes e termo não-homogêneo que seja polinômio, exponencial, seno/cosseno ou combinação desses, o método mais prático é o método dos coeficientes indeterminados. A ideia é:
resolver primeiro a equação homogênea associada para obter y_h;
em seguida propor um ansatz (uma forma tentativa) simples para uma solução particular y_p compatível com o termo externo 4t^2 (aqui um polinômio de grau 2), ajustar coeficientes e somar y_h+y_p.
Vou usar esse método porque aqui o termo não-homogêneo é um polinômio e a equação tem coeficientes constantes — o método é direto e rápido.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=0.
Formamos a equação característica associada substituindo y\mapsto e^{rt}:
r^{2}-2r+2=0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot2 = 4-8 = -4.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{2\pm\sqrt{-4}}{2} = 1\pm i.
Regra (aula rápida): se as raízes são r= \alpha\pm i\beta, a solução fundamental da homogênea é
Escolher um ansatz para a solução particular y_p. Como o lado direito é um polinômio de grau 2, na ausência de ressonância devemos tentar um polinômio de mesmo grau:
y_p(t)=a t^{2}+b t + c,
onde a,b,c são coeficientes indeterminados a determinar. (Observação didática: se 0 fosse raiz da característica com multiplicidade m, teríamos que multiplicar o ansatz por t^{m}. Aqui 0 NÃO é raiz de r^{2}-2r+2, logo não há fator extra.)
Agora calculamos as derivadas de y_p:
y_p^{\prime}(t)=2a t + b, \qquad y_p^{\prime\prime}(t)=2a.
Passo 5
Substituir y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial e igualar coeficientes. Temos:
y_p^{\prime\prime}-2y_p^{\prime}+2y_p = (2a) - 2(2a t + b) + 2(a t^{2}+b t + c).