Um corpo de massa 3,0 \mathrm{~kg} preso a uma mola elástica, executa um MHS, oscilando com amplitude de 4,0 \mathrm{~cm} e período de 2,0 \mathrm{~s}.
(a) Determine a energia mecânica total do sistema.
(b) Calcular a frequência angular; e o módulo da velocidade máxima do sistema.
(c) Em que posição x a velocidade é metade da velocidade máxima.
(R: (a) 2,37 \times 10^{-2} \mathrm{~J}; (b) 3,14 \mathrm{rad} / \mathrm{s} ; 0,124 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; (c) 3,41 \mathrm{~cm} ).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as coisas abaixo.
Dados (pegos do enunciado):
  • massa: m=3,0\\ \mathrm{kg}.
  • amplitude: A=4,0\\ \mathrm{cm}=0,04\\ \mathrm{m}.
  • período: T=2,0\\ \mathrm{s}.
O que o enunciado pede:
(a) Determinar a energia mecânica total do sistema.
(b) Calcular a frequência angular e o módulo da velocidade máxima do sistema.
(c) Determinar a posição x em que a velocidade é metade da velocidade máxima.

Passo 2

Primeiro cálculo útil: frequência angular \omega. Explicação rápida do conceito: a frequência angular \omega relaciona quantas “oscilações angulares” ocorrem por segundo; para um MHS a relação entre período T e \omega é
\omega=\frac{2\pi}{T},
onde T é o tempo de uma oscilação completa e \pi é a constante pi. Substituindo T=2,0\\ \mathrm{s},
\omega=\frac{2\pi}{2,0}=\pi.
Numericamente,
\omega\approx3,14\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Energia mecânica total do MHS. Teoria e fórmulas: em um oscilador massa-mola sem atrito a energia mecânica total E é constante e igual à energia potencial máxima (quando a velocidade é zero, em x=\pm A). A energia potencial elástica é \dfrac{1}{2}k x^2, logo na amplitude
E=\frac{1}{2}kA^2.
Aqui k é a constante da mola. Podemos evitar medir k diretamente usando a relação entre k, m e \omega para MHS:
k=m\omega^2.
Substituindo em E:
E=\frac{1}{2} m \omega^2 A^2.
Agora calculamos passo a passo com os números (tudo em unidades do SI):
\omega^2=(\pi)^2\approx9,8696,
A^2=(0,04)^2=0,0016,
m\omega^2A^2=3,0\times9,8696\times0,0016\approx0,0473741,
E=\frac{1}{2}\times0,0473741\approx0,0236870\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma usual (3 algarismos significativos),
E\approx2,37\times10^{-2}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Velocidade máxima. Conceito e fórmula: a velocidade máxima em um MHS ocorre ao passar pelo equilíbrio x=0. A relação entre velocidade e amplitude é
v_{\max}=\omega A,
porque a velocidade máxima é A vezes a taxa angular \omega. Usando os valores:
v_{\max}=\pi\times0,04\approx0,1256637\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando para três algarismos significativos,
v_{\max}\approx0,126\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Posição em que a velocidade vale metade da máxima. Estratégia didática: usar conservação de energia (ou a forma da velocidade em função de x). A energia total é a soma da energia cinética e da energia potencial:
E=\frac{1}{2}m v^2+\frac{1}{2}k x^2.
Como E=\dfrac{1}{2}kA^2, podemos escrever
\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}m v^2+\frac{1}{2}k x^2.
Dividindo tudo por \tfrac{1}{2} e usando k=m\omega^2 leva à forma conveniente
m\omega^2 A^2 = m v^2 + m\omega^2 x^2.
Cancelando m dos dois lados:
\omega^2 A^2 = v^2 + \omega^2 x^2.
Isolando v^2:
v^2=\omega^2(A^2-x^2).
Portanto a dependência velocidade versus posição é
v=\omega\sqrt{A^2-x^2}.
Agora impondo que v=\dfrac{v_{\max}}{2}=\dfrac{\omega A}{2}, obtemos
\omega\sqrt{A^2-x^2}=\frac{\omega A}{2}.
Dividindo por \omega (não nulo):
\sqrt{A^2-x^2}=\frac{A}{2}.
Elevando ao quadrado:
A^2-x^2=\frac{A^2}{4}.
Isolando x^2:
x^2=A^2-\frac{A^2}{4}=\frac{3}{4}A^2.
Logo
x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\,A.
Tomando o módulo (posição relativa ao equilíbrio):
|x|=\frac{\sqrt{3}}{2}\,A.
Agora o cálculo numérico com A=0,04\\ \mathrm{m}:
|x|=\frac{\sqrt{3}}{2}\times0,04\approx0,8660254\times0,04\approx0,0346410\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros,
|x|\approx3,46\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Resumo numérico final (para conferência rápida): energia total E\approx2,37\times10^{-2}\\ \mathrm{J}; frequência angular \omega\approx3,14\\ \mathrm{rad/s}; velocidade máxima v_{\max}\approx0,126\\ \mathrm{m/s}; posição onde v=v_{\max}/2 é x\approx\pm3,46\\ \mathrm{cm}. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no passo a passo que você já decorou.

Resposta

(a) 2,37\times10^{-2}\\ \mathrm{J}
(b) \omega=3,14\\ \mathrm{rad/s}; v_{\max}=0,126\\ \mathrm{m/s}
(c) |x|=3,46\\ \mathrm{cm}

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