Um corpo de massa
preso a uma mola elástica, executa um MHS, oscilando com amplitude de
e período de
.
(a) Determine a energia mecânica total do sistema.
(b) Calcular a frequência angular; e o módulo da velocidade máxima do sistema.
(c) Em que posição x a velocidade é metade da velocidade máxima.
(R: (a)
; (b)
(c)
).
(a) Determine a energia mecânica total do sistema.
(b) Calcular a frequência angular; e o módulo da velocidade máxima do sistema.
(c) Em que posição x a velocidade é metade da velocidade máxima.
(R: (a)
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as coisas abaixo.
Dados (pegos do enunciado):
- massa:
. - amplitude:
. - período:
.
O que o enunciado pede:
(a) Determinar a energia mecânica total do sistema.
(b) Calcular a frequência angular e o módulo da velocidade máxima do sistema.
(c) Determinar a posição em que a velocidade é metade da velocidade máxima.
(a) Determinar a energia mecânica total do sistema.
(b) Calcular a frequência angular e o módulo da velocidade máxima do sistema.
(c) Determinar a posição
Passo 2
Primeiro cálculo útil: frequência angular
. Explicação rápida do conceito: a frequência angular
relaciona quantas “oscilações angulares” ocorrem por segundo; para um MHS a relação entre período
e
é
onde
é o tempo de uma oscilação completa e
é a constante pi. Substituindo
,
Numericamente,
Passo 3
Energia mecânica total do MHS. Teoria e fórmulas: em um oscilador massa-mola sem atrito a energia mecânica total
é constante e igual à energia potencial máxima (quando a velocidade é zero, em
). A energia potencial elástica é
, logo na amplitude
Aqui
é a constante da mola. Podemos evitar medir
diretamente usando a relação entre
,
e
para MHS:
Substituindo em
:
Agora calculamos passo a passo com os números (tudo em unidades do SI):
Arredondando de forma usual (3 algarismos significativos),
Passo 4
Velocidade máxima. Conceito e fórmula: a velocidade máxima em um MHS ocorre ao passar pelo equilíbrio
. A relação entre velocidade e amplitude é
porque a velocidade máxima é
vezes a taxa angular
. Usando os valores:
Arredondando para três algarismos significativos,
Passo 5
Posição em que a velocidade vale metade da máxima. Estratégia didática: usar conservação de energia (ou a forma da velocidade em função de
). A energia total é a soma da energia cinética e da energia potencial:
Como
, podemos escrever
Dividindo tudo por
e usando
leva à forma conveniente
Cancelando
dos dois lados:
Isolando
:
Portanto a dependência velocidade versus posição é
Agora impondo que
, obtemos
Dividindo por
(não nulo):
Elevando ao quadrado:
Isolando
:
Logo
Tomando o módulo (posição relativa ao equilíbrio):
Agora o cálculo numérico com
:
Convertendo para centímetros,
Passo 6
Resumo numérico final (para conferência rápida): energia total
; frequência angular
; velocidade máxima
; posição onde
é
. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no passo a passo que você já decorou.
Resposta
(a)
(b) ;
(c)
(b)
(c)