Um corpo de massa
está preso a uma mola de constante elástica igual a
é livre para oscilar horizontalmente, sem atrito. Considere que emt
o deslocamento inicial do bloco é
e sua velocidade é
. Escreva uma equação para
durante a oscilação.
; para
.
Passo 1
Vou listar com calma o que o enunciado nos deu e o que pede (sem resolver nada ainda):
- Massa do bloco:
. - Constante elástica da mola:
. - Condições iniciais no instante
: - Deslocamento inicial:
. - Velocidade inicial:
.
- Deslocamento inicial:
- O enunciado pede: escrever a equação do movimento
durante a oscilação (movimento sem atrito).
Passo 2
Modelo físico e solução geral — vamos entender a receita antes de cozinhar.
Um bloco ligado a uma mola sem atrito executa um movimento harmônico simples. A equação diferencial que descreve isso é
onde:
-
é a segunda derivada de em relação ao tempo (aceleração), -
é a massa, -
é a constante da mola, -
é o deslocamento.
A solução geral dessa equação (movimento harmônico simples) pode ser escrita como
onde:
-
é a amplitude (valor máximo do deslocamento, em metros), -
é a frequência angular (em ), -
é a fase inicial (em radianos), -
é o tempo (em segundos).
A velocidade associada a essa solução é obtida diferenciando:
Passo 3
Calcular a frequência angular
.
Pela teoria do oscilador harmônico,
Substituindo os valores dados:
Arredondando de forma razoável:
Passo 4
Relacionar
e
com as condições iniciais.
Em
temos:
Essas duas equações dão um sistema para
e
.
Passo 5
Determinar a amplitude
a partir das condições iniciais (método algébrico simples).
Uma forma prática: somar o quadrado das duas equações divididas apropriadamente para eliminar
. Escrevendo:
Somando:
Portanto:
Agora calculemos numericamente:
Calcular
:
Agora os quadrados:
Somando e extraindo raiz:
Arredondando de forma compatível com os dados:
Passo 6
Determinar a fase inicial
.
Das equações iniciais temos a razão
Logo
Calculemos o valor numérico:
Portanto
Verificação de quadrante (para não errar o sinal):
-
é positivo; -
é negativo (porque e o sinal é negativo).
Isso colocano quarto quadrante, ou seja um ângulo negativo entre e , e está correto. Em graus isso é aproximadamente .
Passo 7
Resumo dos parâmetros numéricos (sem repetir a equação final, que ficará apenas em