Um corpo de massa \mathrm{m}=2,43 \mathrm{~kg} está preso a uma mola de constante elástica igual a \mathrm{k}=221 \mathrm{~N} / \mathrm{m} é livre para oscilar horizontalmente, sem atrito. Considere que emt =0 \mathrm{~s} o deslocamento inicial do bloco é \mathrm{x}_{0}=+0,0624 \mathrm{~m} e sua velocidade é \mathrm{V}_{0 \mathrm{x}}=+0,847 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Escreva uma equação para \mathrm{x}(\mathrm{t}) durante a oscilação.
\left(\mathrm{R}: \mathrm{x}(\mathrm{t})=0,108 \cos (9,54 \mathrm{t}-0,958)\right.; para \left.\delta=-54,9^{\circ}\right).

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado nos deu e o que pede (sem resolver nada ainda):
  • Massa do bloco: m=2,43\\ \mathrm{kg}.
  • Constante elástica da mola: k=221\\ \mathrm{N/m}.
  • Condições iniciais no instante t=0:
    • Deslocamento inicial: x_0=+0,0624\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade inicial: V_{0x}=+0,847\\ \mathrm{m/s}.
  • O enunciado pede: escrever a equação do movimento x(t) durante a oscilação (movimento sem atrito).

Passo 2

Modelo físico e solução geral — vamos entender a receita antes de cozinhar.
Um bloco ligado a uma mola sem atrito executa um movimento harmônico simples. A equação diferencial que descreve isso é
m\ddot{x}+k x=0
onde:
  • \ddot{x} é a segunda derivada de x em relação ao tempo (aceleração),
  • m é a massa,
  • k é a constante da mola,
  • x(t) é o deslocamento.
A solução geral dessa equação (movimento harmônico simples) pode ser escrita como
x(t)=A\cos(\omega t+\delta)
onde:
  • A é a amplitude (valor máximo do deslocamento, em metros),
  • \omega é a frequência angular (em \mathrm{s^{-1}}),
  • \delta é a fase inicial (em radianos),
  • t é o tempo (em segundos).
A velocidade associada a essa solução é obtida diferenciando:
v(t)=\dot{x}(t)=-A\omega\sin(\omega t+\delta).

Passo 3

Calcular a frequência angular \omega.
Pela teoria do oscilador harmônico,
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Substituindo os valores dados:
\frac{k}{m}=\frac{221}{2,43}=90,946\ldots
\omega=\sqrt{90,946\ldots}=9,538\ldots\\ \mathrm{s^{-1}}.
Arredondando de forma razoável:
\omega\approx 9,54\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 4

Relacionar A e \delta com as condições iniciais.
Em t=0 temos:
x(0)=x_0=A\cos\delta,
v(0)=V_{0x}=-A\omega\sin\delta.
Essas duas equações dão um sistema para A e \delta.

Passo 5

Determinar a amplitude A a partir das condições iniciais (método algébrico simples).
Uma forma prática: somar o quadrado das duas equações divididas apropriadamente para eliminar \delta. Escrevendo:
A^2\cos^2\delta = x_0^2,
A^2\omega^2\sin^2\delta = V_{0x}^2.
Somando:
A^2(\cos^2\delta+\omega^2\sin^2\delta)\quad\text{mas é mais direto usar}\quad A^2\bigl(\cos^2\delta+\sin^2\delta\bigr)=x_0^2+\Bigl(\frac{V_{0x}}{\omega}\Bigr)^{\!2}.é
Portanto:
A=\sqrt{x_0^2+\Bigl(\frac{V_{0x}}{\omega}\Bigr)^{\!2}}.
Agora calculemos numericamente:
Calcular \dfrac{V_{0x}}{\omega}:
\frac{V_{0x}}{\omega}=\frac{0,847}{9,538\ldots}\approx 0,08878\\ \mathrm{m}.
Agora os quadrados:
x_0^2=(0,0624)^2=0,00389376,
\Bigl(\frac{V_{0x}}{\omega}\Bigr)^{\!2}\approx(0,08878)^2=0,0078839.
Somando e extraindo raiz:
A=\sqrt{0,00389376+0,0078839}=\sqrt{0,0117777\ldots}\approx 0,10856\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma compatível com os dados:
A\approx 0,108\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Determinar a fase inicial \delta.
Das equações iniciais temos a razão
\frac{V_{0x}}{\omega x_0}=\frac{-A\omega\sin\delta}{\omega A\cos\delta}=-\tan\delta.
Logo
\tan\delta=-\frac{V_{0x}}{\omega x_0}.
Calculemos o valor numérico:
\omega x_0=9,538\ldots\times 0,0624\approx 0,59517\\ \mathrm{m/s},
-\frac{V_{0x}}{\omega x_0}=-\frac{0,847}{0,59517}\approx -1,423.
Portanto
\delta=\arctan(-1,423)\approx -0,958\\ \text{rad}.
Verificação de quadrante (para não errar o sinal):
  • \cos\delta = x_0/A \approx 0,0624/0,1086 é positivo;
  • \sin\delta = -V_{0x}/(A\omega) é negativo (porque V_{0x}>0 e o sinal é negativo).
    Isso coloca \delta no quarto quadrante, ou seja um ângulo negativo entre -\tfrac{\pi}{2} e 0, e -0,958\\ \text{rad} está correto. Em graus isso é aproximadamente -54,9^\circ.

Passo 7

Resumo dos parâmetros numéricos (sem repetir a equação final, que ficará apenas em

Resposta

x(t)=0,108\cos(9,54\,t-0,958)

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