Um corpo de massa
está preso a uma mola sobre uma superfície horizontal sem atrito. A constante elástica da mola é
. O corpo é puxando até
de distância da posição de equilíbrio e é solto no instante de tempo
.
(a) Determine a frequência angular
, a frequência f , e o período T do movimento.
(b) Escreva uma equação para o deslocamento
como função do tempo
, do sistema massa-mola.
(R: (a)
;
(b)
.
(a) Determine a frequência angular
(b) Escreva uma equação para o deslocamento
(R: (a)
(b)
Passo 1
Enunciado resumido e dados fornecidos:
- Massa do corpo:
. - Constante elástica da mola:
. - Deslocamento inicial (a partir da posição de equilíbrio) e condição de liberação:
e o corpo é solto a partir do repouso no instante , portanto .
O que o problema pede:
(a) determinar a frequência angular, a frequência e o período do movimento;
(b) escrever a equação do deslocamentodo sistema massa-mola usando as condições iniciais dadas.
Passo 2
Equação do movimento e forma geral da solução.
- Para um sistema massa-mola sem amortecimento e sem forças externas, a equação de movimento (segunda lei de Newton aplicada ao deslocamento) é
Aqui
é a aceleração (segunda derivada temporal do deslocamento),
é a massa e
é a constante da mola.
- As soluções dessa equação são oscilações harmônicas simples da forma
onde
e
são constantes ajustadas às condições iniciais e
é a frequência angular natural do sistema, dada por
Explicação rápida: ao substituir
na equação característica obtém-se
, daí
com
, o que leva à combinação de cosseno e seno acima.
Passo 3
Cálculo da frequência angular
.
Usando a fórmula ,
Usando a fórmula
Avaliação numérica:
, logo
Arredondando de forma razoável para duas casas significativas no contexto do enunciado:
Passo 4
Relação entre
,
e
e significado físico.
- A frequência
(em hertz) é o número de oscilações por segundo e relaciona-se com a frequência angular por
- O período
(em segundos) é o tempo de uma oscilação completa e é o inverso da frequência:
Essas fórmulas seguem da definição de
como radianos por segundo (uma volta completa vale
radianos).
Passo 5
Cálculo da frequência
.
Usando ,
Usando
Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 6
Cálculo do período
.
Usando com
,
Usando
Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 7
Determinação das constantes
e
a partir das condições iniciais e escrita de
.
- A solução geral é
. - Condição em
: . - Velocidade:
. Em tem-se . - Como o corpo é solto do repouso,
, portanto .
Logo a solução com as condições iniciais é
substituindo o valor arredondado de
: