Um corpo de massa 2,0 \mathrm{~kg} está preso a uma mola sobre uma superfície horizontal sem atrito. A constante elástica da mola é \mathrm{k}=196 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O corpo é puxando até 5,0 \mathrm{~cm} de distância da posição de equilíbrio e é solto no instante de tempo \mathrm{t}=0.
(a) Determine a frequência angular \omega, a frequência f , e o período T do movimento.
(b) Escreva uma equação para o deslocamento x como função do tempo t, x(t), do sistema massa-mola.
(R: (a) \omega=9,9 \mathrm{rad} / \mathrm{s} ; \mathrm{f}=1,58 \mathrm{~Hz} ; \mathrm{T}=0,633 \mathrm{~s};
(b) x(\mathrm{t})=(0,05 \mathrm{~m}) \cos [(9,9 \mathrm{rad} / \mathrm{s}) \mathrm{t}]).

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos:
  • Massa do corpo: m=2,0\\ \mathrm{kg}.
  • Constante elástica da mola: k=196\\ \mathrm{N/m}.
  • Deslocamento inicial (a partir da posição de equilíbrio) e condição de liberação: x(0)=5,0\\ \mathrm{cm}=0,05\\ \mathrm{m} e o corpo é solto a partir do repouso no instante t=0, portanto v(0)=0.
    O que o problema pede:
    (a) determinar a frequência angular \omega, a frequência f e o período T do movimento;
    (b) escrever a equação do deslocamento x(t) do sistema massa-mola usando as condições iniciais dadas.

Passo 2

Equação do movimento e forma geral da solução.
  • Para um sistema massa-mola sem amortecimento e sem forças externas, a equação de movimento (segunda lei de Newton aplicada ao deslocamento) é
m\,\ddot{x} + k\,x = 0.
Aqui \ddot{x} é a aceleração (segunda derivada temporal do deslocamento), m é a massa e k é a constante da mola.
  • As soluções dessa equação são oscilações harmônicas simples da forma
x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes ajustadas às condições iniciais e \omega é a frequência angular natural do sistema, dada por
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Explicação rápida: ao substituir x(t)=e^{\lambda t} na equação característica obtém-se \lambda^2+{k}/{m}=0, daí \lambda=\pm i\omega com \omega=\sqrt{k/m}, o que leva à combinação de cosseno e seno acima.

Passo 3

Cálculo da frequência angular \omega.
Usando a fórmula \omega=\sqrt{k/m},
\omega=\sqrt{\frac{196}{2,0}}=\sqrt{98}=7\sqrt{2}.
Avaliação numérica: \sqrt{2}\approx1,41421356, logo
\omega=7\cdot1,41421356\approx9,8994949\\ \mathrm{rad/s}.
Arredondando de forma razoável para duas casas significativas no contexto do enunciado:
\omega\approx9,9\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Relação entre \omega, f e T e significado físico.
  • A frequência f (em hertz) é o número de oscilações por segundo e relaciona-se com a frequência angular por
f=\frac{\omega}{2\pi}.
  • O período T (em segundos) é o tempo de uma oscilação completa e é o inverso da frequência:
T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi}{\omega}.
Essas fórmulas seguem da definição de \omega como radianos por segundo (uma volta completa vale 2\pi radianos).

Passo 5

Cálculo da frequência f.
Usando \omega\approx9,8994949\\ \mathrm{rad/s},
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{9,8994949}{2\pi}=\frac{9,8994949}{6,2831853}\approx1,576\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando para três algarismos significativos:
f\approx1,58\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Cálculo do período T.
Usando T=1/f com f\approx1,576\\ \mathrm{Hz},
T=\frac{1}{1,576}\approx0,6345\\ \mathrm{s}.
Arredondando para três algarismos significativos:
T\approx0,634\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Determinação das constantes A e B a partir das condições iniciais e escrita de x(t).
  • A solução geral é x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t).
  • Condição em t=0: x(0)=A=0,05\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade: \dot{x}(t)=-A\omega\sin(\omega t)+B\omega\cos(\omega t). Em t=0 tem-se \dot{x}(0)=B\omega.
  • Como o corpo é solto do repouso, \dot{x}(0)=0, portanto B\omega=0\Rightarrow B=0.
    Logo a solução com as condições iniciais é
x(t)=A\cos(\omega t)=0,05\cos(\omega t),
substituindo o valor arredondado de \omega:
x(t)=(0,05\\ \mathrm{m})\cos\big((9,9\\ \mathrm{rad/s})\,t\big).

Resposta

\omega=9,9\\ \mathrm{rad/s},\\ f=1,58\\ \mathrm{Hz},\\ T=0,634\\ \mathrm{s}\newline
\displaystyle x(t)=(0,05\\ \mathrm{m})\cos\big((9,9\\ \mathrm{rad/s})\,t\big)

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