QUESTÃO 1 ( \mathbf{2 , 0} Pontos) Considere um linha de cargas de comprimento \mathbf{2 \beta}, que está orientada, paralelamente ao eixo y e o seu centro (da linha) está na origem do referido eixo. Considerando uma distribuição de carga uniforme, a área da seção transversal do bastão ínfima, comparada ao seu comprimento, determine o módulo do campo elétrico gerado por essa distribuição de cargas no plano XY, tal que: -\boldsymbol{\beta} \leq \boldsymbol{y} \leq \boldsymbol{\beta} e -\boldsymbol{\theta} \leq \boldsymbol{x} \leq \boldsymbol{\theta}, onde \boldsymbol{\beta} e \boldsymbol{\theta} tem em o comprimento como a unidade de medida no SI.

Passo 1

O enunciado dá uma linha de carga (um bastão de seção transversal desprezível) de comprimento 2\beta, alinhada paralelamente ao eixo y e centrada na origem, ou seja a linha vai de y'=-\beta até y'=\beta com x'=0. A distribuição de carga é uniforme ao longo da linha. O enunciado pede o módulo do campo elétrico gerado por essa distribuição no plano XY para pontos com coordenadas -\beta \le y \le \beta e -\theta \le x \le \theta.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A linha de carga ocupa o segmento \{(0,y')\mid y'\in[-\beta,\beta]\}.
  • A densidade linear de carga é uniforme; vamos denotá-la por \lambda (unidade C/m). Se for dado o total Q, então \lambda = \dfrac{Q}{2\beta}.
  • O ponto campo onde queremos o campo tem coordenadas (x,y) com -\theta\le x\le\theta e -\beta\le y\le\beta.
  • O objetivo: obter o módulo E(x,y) do campo elétrico gerado por toda a linha (expressão em termos de \lambda,\beta,x,y,\varepsilon_0).

Passo 2

Escolha do método e a fórmula básica (intuição e receita de prova).
Para uma distribuição contínua de carga usamos a lei de Coulomb diferencial: um elemento de carga dq gera um campo diferencial
d\mathbf{E}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{dq}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{dq\,\mathbf{r}}{r^3},
onde \mathbf{r} é o vetor que vai do elemento de carga até o ponto onde se quer o campo, r=|\mathbf{r}| e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Para somar a contribuição de toda a linha, escrevemos dq=\lambda\,dy' e integramos y' de -\beta a \beta. Vou integrar as componentes x e y do campo e depois formar o módulo. Esta é a técnica padrão e rápida para provas: definir coordenadas, escrever o elemento, decompor em componentes e integrar.

Passo 3

Definição das coordenadas e do elemento.
Escolho um ponto fonte sobre a linha em (0,y') com y'\in[-\beta,\beta]. O ponto de observação é P=(x,y). O vetor que vai do elemento até P é
\mathbf{r}=\langle x,\;y-y'\rangle,
logo
r=\sqrt{x^2+(y-y')^2}.
O elemento de carga é dq=\lambda\,dy'. Assim o campo diferencial no ponto P é
d\mathbf{E}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{\lambda\,dy'\,\langle x,\;y-y'\rangle}{\bigl(x^2+(y-y')^2\bigr)^{3/2}}.
Agora separamos nas componentes dE_x e dE_y.

Passo 4

Escrevendo as integrais para as componentes.
Extraindo as componentes do vetor acima obtemos
dE_x=\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{x\,dy'}{\bigl(x^2+(y-y')^2\bigr)^{3/2}},
dE_y=\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{(y-y')\,dy'}{\bigl(x^2+(y-y')^2\bigr)^{3/2}}.
Integrando y' de -\beta a \beta obtemos as componentes totais:
E_x=\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-\beta}^{\beta}\dfrac{x\,dy'}{\bigl(x^2+(y-y')^2\bigr)^{3/2}},
E_y=\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-\beta}^{\beta}\dfrac{(y-y')\,dy'}{\bigl(x^2+(y-y')^2\bigr)^{3/2}}.

Passo 5

Cálculo de E_x.
Para integrar convém fazer a mudança de variável u=y-y'. Então du=-dy'. Quando y'=-\beta temos u=y+\beta. Quando y'=\beta temos u=y-\beta. A integral para E_x fica, trocando os limites e o sinal,
E_x=\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,x\int_{u=y-\beta}^{y+\beta}\dfrac{du}{\bigl(x^2+u^2\bigr)^{3/2}}.
A primitiva conhecida (ou que se pode obter por substituição trigonométrica) é
\int \dfrac{du}{\bigl(a^2+u^2\bigr)^{3/2}}=\dfrac{u}{a^2\sqrt{a^2+u^2}}\quad\text{(para \(a\neq0\))}.
Aplicando com a=|x| obtemos
E_x=\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,x\left[\dfrac{u}{x^2\sqrt{x^2+u^2}}\right]_{u=y-\beta}^{y+\beta}.
Fatorando \dfrac{x}{x^2}=\dfrac{1}{x} (atenção: esta expressão vale para x\neq 0; o caso x=0 será comentado) obtemos a forma final
E_x=\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 x}\left(\dfrac{y+\beta}{\sqrt{x^2+(y+\beta)^2}}-\dfrac{y-\beta}{\sqrt{x^2+(y-\beta)^2}}\right).

Passo 6

Cálculo de E_y.
Reutilizando a mudança u=y-y' e os mesmos limites, a integral para E_y fica
E_y=\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_{u=y-\beta}^{y+\beta}\dfrac{u\,du}{\bigl(x^2+u^2\bigr)^{3/2}}.
A primitiva é simples:
\int \dfrac{u\,du}{\bigl(x^2+u^2\bigr)^{3/2}}=-\dfrac{1}{\sqrt{x^2+u^2}}.
Aplicando os limites temos
E_y=\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\left[-\dfrac{1}{\sqrt{x^2+u^2}}\right]_{u=y-\beta}^{y+\beta} =\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+(y-\beta)^2}}-\dfrac{1}{\sqrt{x^2+(y+\beta)^2}}\right).

Passo 7

Observações físicas, sinais e singularidades; formulação do módulo.
  • As expressões acima são válidas para x\neq 0. Se x=0 e y estiver dentro do segmento (-\,\beta,\beta) o campo diverge (o ponto está sobre a linha de carga) — na prática, ponto singular. Para x=0 e y fora do segmento as integrais podem ser tratadas por limite.
  • Se a carga for positiva ( \lambda>0), o campo aponta “para fora” da linha; se \lambda<0 aponta no sentido oposto. Como o enunciado pergunta o módulo, usamos o valor absoluto de \lambda ou tomamos a raiz quadrada das componentes ao computar o módulo.
    O módulo do campo elétrico no ponto (x,y) é, portanto,
E(x,y)=\sqrt{E_x^2+E_y^2},
com E_x e E_y dados nas expressões anteriores. Explicitando,
E(x,y)=\sqrt{ \left[\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 x}\!\left(\dfrac{y+\beta}{\sqrt{x^2+(y+\beta)^2}}-\dfrac{y-\beta}{\sqrt{x^2+(y-\beta)^2}}\right)\right]^{\!2} + \left[\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+(y-\beta)^2}}-\dfrac{1}{\sqrt{x^2+(y+\beta)^2}}\right)\right]^{\!2} }.
Essa é a resposta geral solicitada (válida para pontos no plano XY com x\neq0; para x=0 deve-se tomar limite ou notar a singularidade quando y\in(-\beta,\beta)). Se preferir, substitui-se \lambda=\dfrac{Q}{2\beta} quando o enunciado der a carga total Q.

Resposta

E(x,y)=\sqrt{ \left[\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 x}\!\left(\dfrac{y+\beta}{\sqrt{x^2+(y+\beta)^2}}-\dfrac{y-\beta}{\sqrt{x^2+(y-\beta)^2}}\right)\right]^{\!2} + \left[\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+(y-\beta)^2}}-\dfrac{1}{\sqrt{x^2+(y+\beta)^2}}\right)\right]^{\!2} }.

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