Use o método de variação de parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais
y^prime prime+4 y^prime+4 y=t^-1 e^-2 t, com t>0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea
y'' + 4y' + 4y = t^-1e^-2t, t>0
usando o método de variação de parâmetros. O conteúdo envolvido é resolver primeiro a equação homogênea associada e depois aplicar fórmulas de variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Resolvemos a equação homogênea
y'' + 4y' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 + 4r + 4 = 0
que tem raiz dupla r=-2. Logo as soluções fundamentais são
y1(t) = e^-2t, y2(t) = t,e^-2t

Passo 3

Calculamos o Wronskiano de :

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dizem
u1' = -f(t),y2(t)W(t), u2' = f(t),y1(t)W(t),
onde f(t)=t^-1e^-2t. Então
u1' = -t^-1e^-2tcdot t,e^-2te^-4t = -1 Longrightarrow u1(t) = -t

Passo 5

De modo análogo,
u2' = t^-1e^-2tcdot e^-2te^-4t = 1t Longrightarrow u2(t) = ln t

Passo 6

A solução particular fica
yp = u1,y1 + u2,y2 = (-t)e^-2t + (ln t),t,e^-2t = t,e^-2t(ln t - 1)

Passo 7

A solução geral da equação original é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^-2t + C2,t,e^-2t + t,e^-2t(ln t - 1),
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Resposta

y(t) = C1 e^-2t + C2,t,e^-2t + t,e^-2t(ln t - 1)

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